Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ Q } xy \, d \lambda^2} { }
über dem Quader
\mathl{Q=[a,b] \times [c,d]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ der
\definitionsverweis {Subgraph}{}{} unterhalb der
\definitionsverweis {Standardparabel}{}{} zwischen
\mathkor {} {1} {und} {3} {.}
Berechne das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ G } x^2+xy-y^3 \, d \lambda^2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
\mathl{[a,b]}{} mit einer reellen Zahl aus
\mathl{[c,d]}{} addiert?
b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
\mathl{[a,b]}{} mit einer reellen Zahl aus
\mathl{[c,d]}{} multiplizert?
c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
\mathl{[a,b]}{} durch eine reelle Zahl aus
\mathl{[c,d]}{}
\zusatzklammer {
\mathl{c>0}{}} {} {}
dividiert?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das Integral zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(r,s,t)
}
{ =} { s^2 t+r \cos t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem Einheitswürfel
\mathl{W=[0,1]^3}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall
\mathl{[0, \pi]}{,} wobei $G$ mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß $\lambda^2$ versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.
a)
\mathl{\int_{ G } x \, d \lambda^2}{}
b)
\mathl{\int_{ G } y \, d \lambda^2}{}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^4 } {.}
a) Bestimme zu jedem Punkt
\mathl{(r,s) \in \R^2}{} das Volumen des Körpers
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid r \leq x \leq r+1 , \, s \leq y \leq s+1 , \, 0 \leq z \leq f(x,y) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige, dass das
\zusatzklammer {von $(r,s)$ abhängige} {} {}
Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt
\mathl{(r,s)}{} minimal ist
\zusatzklammer {dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise den Satz von Fubini für eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {[a,b] \times [c,d]} { \R } {} mit Hilfe von Aufgabe 10.12.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R^d} {\R
} {}
eine messbare integrierbare Funktion. Zu einem fixierten Startpunkt
\mathl{(a_1 , \ldots , a_d) \in \R^d}{} betrachten wir
\zusatzklammer {für
\mathl{(x_1 , \ldots , x_d) \in \R_{\geq a_1} \times \cdots \times \R_{\geq a_d}}{}} {} {}
die Abbildung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x_1 , \ldots , x_d)
}
{ \defeq} { \int_{ [a_1,x_1] \times \cdots \times [a_d,x_d]} f d \lambda^d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Es sei $f$ stetig. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_1 } } { \frac{ \partial }{ \partial x_2 } } \cdots { \frac{ \partial }{ \partial x_d } } F
}
{ =} { f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
b) Wie ist
\mathl{F(x_1 , \ldots , x_d )}{} für beliebige
\mathl{x \in \R^d}{} zu definieren?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Stelle eine Formel für
\mathdisp {\int_{ [a_1,b_1] \times \cdots \times [a_d,b_d] } x_1^{r_1} \cdots x_d^{r_d} d \lambda^d} { }
auf und beweise sie
a) mittels dem Satz von Fubini,
b) mittels Aufgabe 13.8,
c) mittels Aufgabe 10.12.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{} und es sei
\maabbdisp {g} {M} {\overline{ \R }_{\geq 0}
} {}
eine nichtnegative
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.}
Zeige, dass die Zuordnung
\maabbeledisp {} { {\mathcal A } } { \overline{ \R }_{\geq 0}
} {T} { \int_{ T } g \, d \mu
} {}
ein
\definitionsverweis {Maß}{}{}
auf $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche \definitionsverweis {Dichte}{}{} besitzt das \definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maß}{}{} auf dem $\R^n$ bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für ein
\definitionsverweis {Maß}{}{} auf
\mathl{(\R, {\mathcal B })}{,} das keine
\definitionsverweis {Dichte}{}{} bezüglich des
\definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maß}{}{}es besitzt.
}
{} {}
Für
\definitionsverweis {integrierbare Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f,g} { \R^n} { {\mathbb C}
} {}
nennt man die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( f*g) (u)
}
{ =} { \int_{\R^n} f(x) g(u-x) dx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Funktion die
\definitionswort {Faltung}{}
von
\mathkor {} {f} {und} {g} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \maabbdisp {f,g} {\R^n} {\R_{\geq 0} } {} \definitionsverweis {Dichten}{}{} auf dem $\R^n$ mit den zugehörigen Maßen \mathkor {} {\mu=f \lambda^n} {bzw.} {\nu=g \lambda^n} {.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Faltung}{}{} $\mu * \nu$ der beiden Maße die \definitionsverweis {Faltung}{}{} $f *g$ als Dichte besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {g} {\R^d} {\R
} {}
eine stetige
\definitionsverweis {Dichte}{}{}
und
\mathl{\mu=g \lambda^d}{} das zugehörige Maß. Zeige, dass für jeden Punkte
\mathl{P \in \R^d}{} die Folge
\mathdisp {{ \frac{ \mu { \left( B \left( P, { \frac{ 1 }{ n } } \right) \right) } }{ \lambda^d { \left( B \left( P, { \frac{ 1 }{ n } } \right) \right) } } }} { }
gegen $g( P )$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass bei einer \definitionsverweis {Lipschitz-stetigen Abbildung}{}{} zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension das Bild einer Nullmenge keine Nullmenge sein muss. Wo bricht der Beweis zu Lemma 13.5 zusammen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(x + \sin y ,y + \cos x)
} {.} Berechne das Minimum und das Maximum von
\mathl{\betrag { \det \left(D\varphi\right)_{P} }}{} auf dem Quadrat
\mathl{Q=[0,2 \pi] \times [0,2 \pi ]}{.} Welche Abschätzung ergibt sich daraus für
\mathl{\lambda^2( \varphi(Q))}{?}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $G$ der \definitionsverweis {Subgraph}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} zwischen \mathkor {} {0} {und} {\pi} {.} Berechne die \definitionsverweis {Integrale}{}{}
a)
\mathl{\int_{ G } x \, d \lambda^2}{,}
b)
\mathl{\int_{ G } y \, d \lambda^2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Integral}{}{} zur Funktion
\mathl{f(x,y)=x ( \sin x)( \cos \left( xy \right))}{} über dem Rechteck
\mathl{Q= [0,3 \pi] \times [0,1]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(u,v)} { { \frac{ 2uv }{ (u^2+1)(v^2+v+1) } }
} {.}
Für welche Quadrate
\mathl{Q=[a,a+1] \times [b,b+1]}{} der Kantenlänge $1$ wird das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ Q } f \, d \lambda^2} { }
maximal? Welchen Wert besitzt es?
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{,}
es sei
\maabbdisp {g} {M} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare}{}{}
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{}
und sei $g\mu$ das Maß zur
\definitionsverweis {Dichte}{}{}
$g$. Zeige, dass für jede messbare Funktion
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } f \, d (g \mu)
}
{ =} { \int_{ M } fg \, d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es seien
\mathbed {(M, {\mathcal A }, \mu)} {und}
{(N, {\mathcal B }, \nu)} {}
{} {} {} {}
$\sigma$-\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Maßräume}{}{,}
und es seien
\maabbdisp {g} {M} {\R
} {}
und
\maabbdisp {h} {N} {\R
} {}
\definitionsverweis {messbare}{}{}
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {integrierbare Funktionen}{}{}
mit den zu diesen
\definitionsverweis {Dichten}{}{}
gehörigen Maßen
\mathkor {} {g \mu} {und} {h \nu} {.}
Zeige, dass auf
\mathl{M \times N}{} das
\definitionsverweis {Produktmaß}{}{}
\mathl{(g \mu) \otimes (h \nu)}{} mit dem Maß zur Dichte
\maabbeledisp {gh} {M \times N} {\R
} {(x,y)} { g(x)h(y)
} {,}
bezüglich
\mathl{\mu \otimes \nu}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
\mathl{\mu=\varphi_*\lambda^n}{} zur Abbildung
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 1}{}} {} {}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^n} {\R
} {(x_1 , \ldots , x_n)} { \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}
} {.}
a) Zeige, dass $\mu$ ein $\sigma$-\definitionsverweis {endliches Maß}{}{} auf $\R$ ist.
b) Zeige, dass $\mu$ bezüglich $\lambda^1$ die
\definitionsverweis {Dichte}{}{}
\mathdisp {h(t)= \begin{cases} 0 , \text{ falls } t < 0 \, , \\ n \beta_n t^{n-1} \text{ falls } t \geq 0 \, , \end{cases}} { }
besitzt, wobei $\beta_n$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(x^3-y^2,xy^2)
} {.}
Berechne das Minimum und das Maximum von
\mathl{\betrag { \det \left(D\varphi\right)_{P} }}{} auf den beiden Quadraten
\mathkor {} {Q_1= [0,1] \times[0,1]} {und} {Q_2= [1,2] \times[1,2]} {.}
Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für
\mathkor {} {\lambda^2( \varphi(Q_1))} {und für} {\lambda^2( \varphi(Q_2))} {?}
}
{} {}