Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 13

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das Integral

$\int _{Q}xy\,d\lambda ^{2}$

über dem Quader ${}Q=[a,b]\times [c,d]$.

Aufgabe

Es sei ${}G$ der Subgraph unterhalb der Standardparabel zwischen ${}1$ und ${}3$. Berechne das Integral

$\int _{G}x^{2}+xy-y^{3}\,d\lambda ^{2}.$

Aufgabe *

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ durch eine reelle Zahl aus ${}[c,d]$ (${}c>0$) dividiert?

Aufgabe *

Berechne das Integral zur Funktion

${}f(r,s,t)=s^{2}t+r\cos t\,$

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall ${}[0,\pi ]$, wobei ${}G$ mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{2}$ versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.

a) ${}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}$

b) ${}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}$

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{4}.$

a) Bestimme zu jedem Punkt ${}(r,s)\in \mathbb {R} ^{2}$ das Volumen des Körpers

${}K={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid r\leq x\leq r+1,\,s\leq y\leq s+1,\,0\leq z\leq f(x,y)\right\}}\,.$

b) Zeige, dass das (von ${}(r,s)$ abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt ${}(r,s)$ minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).

Aufgabe

Beweise den Satz von Fubini für eine stetige Funktion

$f\colon [a,b]\times [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$

mit Hilfe von Aufgabe 10.12.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine messbare integrierbare Funktion. Zu einem fixierten Startpunkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ betrachten wir (für ${}(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} _{\geq a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {R} _{\geq a_{d}}$) die Abbildung

${}F(x_{1},\ldots ,x_{d}):=\int _{[a_{1},x_{1}]\times \cdots \times [a_{d},x_{d}]}fd\lambda ^{d}\,.$

a) Es sei ${}f$ stetig. Zeige

${}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial x_{d}}}F=f\,$

b) Wie ist ${}F(x_{1},\ldots ,x_{d})$ für beliebige ${}x\in \mathbb {R} ^{d}$ zu definieren?

Aufgabe

Stelle eine Formel für

$\int _{[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{d},b_{d}]}x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{d}^{r_{d}}d\lambda ^{d}$

auf und beweise sie

a) mittels dem Satz von Fubini,

b) mittels Aufgabe 13.8,

c) mittels Aufgabe 10.12.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und es sei

$g\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass die Zuordnung

${\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \int _{T}g\,d\mu$

ein Maß auf ${}M$ ist.

Aufgabe

Welche Dichte besitzt das Borel-Lebesgue-Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein Maß auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das keine Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt.

Für integrierbare Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

nennt man die durch

${}(f*g)(u)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(u-x)dx\,$

definierte Funktion die Faltung von ${}f$ und ${}g$.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

Dichten auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit den zugehörigen Maßen ${}\mu =f\lambda ^{n}$ bzw. ${}\nu =g\lambda ^{n}$. Zeige, dass die Faltung ${}\mu *\nu$ der beiden Maße die Faltung ${}f*g$ als Dichte besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}g\colon \mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Dichte und ${}\mu =g\lambda ^{d}$ das zugehörige Maß. Zeige, dass für jeden Punkte ${}P\in \mathbb {R} ^{d}$ die Folge

${\frac {\mu {\left(B\left(P,{\frac {1}{n}}\right)\right)}}{\lambda ^{d}{\left(B\left(P,{\frac {1}{n}}\right)\right)}}}$

gegen ${}g(P)$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass bei einer Lipschitz-stetigen Abbildung zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension das Bild einer Nullmenge keine Nullmenge sein muss. Wo bricht der Beweis zu Lemma 13.5 zusammen?

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+\sin y,y+\cos x).$

Berechne das Minimum und das Maximum von ${}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$ auf dem Quadrat ${}Q=[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]$. Welche Abschätzung ergibt sich daraus für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q))$?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}G$ der Subgraph der Sinusfunktion zwischen ${}0$ und ${}\pi$. Berechne die Integrale

a) ${}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}$,

b) ${}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion ${}f(x,y)=x(\sin x)(\cos \left(xy\right))$ über dem Rechteck ${}Q=[0,3\pi ]\times [0,1]$.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto {\frac {2uv}{(u^{2}+1)(v^{2}+v+1)}}.$

Für welche Quadrate ${}Q=[a,a+1]\times [b,b+1]$ der Kantenlänge ${}1$ wird das Integral

$\int _{Q}f\,d\lambda ^{2}$

maximal? Welchen Wert besitzt es?

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum, es sei

$g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine messbare nichtnegative integrierbare Funktion und sei ${}g\mu$ das Maß zur Dichte ${}g$. Zeige, dass für jede messbare Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

die Beziehung

${}\int _{M}f\,d(g\mu )=\int _{M}fg\,d\mu \,$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$- endliche Maßräume, und es seien

$g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$h\colon N\longrightarrow \mathbb {R}$

messbare nichtnegative integrierbare Funktionen mit den zu diesen Dichten gehörigen Maßen ${}g\mu$ und ${}h\nu$. Zeige, dass auf ${}M\times N$ das Produktmaß ${}(g\mu )\otimes (h\nu )$ mit dem Maß zur Dichte

$gh\colon M\times N\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto g(x)h(y),$

bezüglich ${}\mu \otimes \nu$ übereinstimmt.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten das Bildmaß ${}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{n}$ zur Abbildung ($n\geq 1$)

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

a) Zeige, dass ${}\mu$ ein ${}\sigma$- endliches Maß auf ${}\mathbb {R}$ ist.

b) Zeige, dass ${}\mu$ bezüglich ${}\lambda ^{1}$ die Dichte

$h(t)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}t<0\,,\\n\beta _{n}t^{n-1}{\text{ falls }}t\geq 0\,,\end{cases}}$

besitzt, wobei ${}\beta _{n}$ das Volumen der ${}n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3}-y^{2},xy^{2}).$

Berechne das Minimum und das Maximum von ${}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$ auf den beiden Quadraten ${}Q_{1}=[0,1]\times [0,1]$ und ${}Q_{2}=[1,2]\times [1,2]$. Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{1}))$ und für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{2}))$?