Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 13

Folgerungen aus dem Satz von Fubini

Beispiel

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy+2y^{3},

über dem Rechteck ${}Q=[-2,1]\times [0,2]$ mit dem Satz von Fubini ausrechnen. Dies führt auf

{}{\begin{aligned}\int _{Q}f\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{2}{\left(\int _{-2}^{1}{\left(x^{2}-xy+2y^{3}\right)}\,dx\right)}\,dy\\&=\int _{0}^{2}{\left({\left({\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}y+2y^{3}x\right)}|_{-2}^{1}\right)}dy\\&=\int _{0}^{2}{\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}y+2y^{3}+{\frac {8}{3}}+2y+4y^{3}\right)}\,dy\\&=\int _{0}^{2}{\left(3+{\frac {3}{2}}y+6y^{3}\right)}\,dy\\&={\left(3y+{\frac {3}{4}}y^{2}+{\frac {3}{2}}y^{4}\right)}|_{0}^{2}\\&=6+3+24\\&=33.\end{aligned}}

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$ - endliche Maßräume und es seien ${}f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ und ${}g\colon N\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ integrierbare Funktionen.

Dann ist auch die Funktion

$fg\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(x,y)\longmapsto f(x)\cdot g(y),$

integrierbar und es gilt

{}\int _{M\times N}fg\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}f\,d\mu \cdot \int _{N}g\,d\nu \,.

Beweis

Wir nehmen zuerst ${}f$ und ${}g$ als nichtnegativ an. Dann gilt nach Satz 12.10

{}{\begin{aligned}\int _{M\times N}fg\,d(\mu \otimes \nu )&=\int _{M}{\left(\int _{N}(fg)(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x)g(y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}f(x){\left(\int _{N}g(y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&={\left(\int _{N}g(y)\,d\nu (y)\right)}\cdot {\left(\int _{M}f(x)\,d\mu (x)\right)}.\end{aligned}}

Für beliebige integrierbare Funktionen folgt daraus, angewendet auf die Betragsfunktionen, zunächst die Integrierbarkeit des Produkts und daraus mit derselben Rechnung die Formel.

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Dichten

Die bisher bewiesenen Eigenschaften des Integrals erlauben es, ausgehend von einem Maß und einer integrierbaren Funktion neue Maße zu definieren.

Definition

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und es sei

g\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

eine nichtnegative messbare Funktion. Dann nennt man das für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ durch

{}\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,

definierte Maß auf ${}M$ das Maß zur Dichte ${}g$ . Es wird mit ${}g\mu$ bezeichnet.

Bemerkung

Die Vorstellung, die hinter einer Dichte liegt und zu dem Namen geführt hat, ist die physikalische Dichte eines Körpers. Zu einem Körper im Raum berechnet das Borel-Lebesgue-Maß das Volumen. Wenn man aber an der Masse dieses Körpers interessiert ist, so reicht die Kenntnis des Volumens nicht aus, es sei denn, der Körper ist homogen und besitzt überall eine konstante Dichte. In diesem Fall ist die Masse proportional zum Volumen. Bei einem nicht homogenen Körper hingegen muss man wissen, wie sich die Masse auf dem Körper verteilt. Eine solche Massenverteilung wird durch eine Dichtefunktion beschrieben, die jedem Punkt des Körpers die „infinitesimale Dichte“ in diesem Punkt zuordnet. Die Gesamtmasse ergibt sich dann durch Integration dieser Dichte bezüglich des Volumenmaßes.

Nullmengen unter differenzierbaren Abbildungen

Wir beginnen nun mit den Vorbereitungen zum Beweis der Transformationsformel.

Lemma

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

eine Lipschitz-stetige Abbildung. Es sei ${}S\subseteq G$ eine Nullmenge.

Dann ist auch ${}\varphi (S)$ eine Nullmenge.

Beweis

Es gelte

{}d(\varphi (x),\varphi (y))\leq L\cdot d(x,y)\,

mit einer Lipschitz-Konstanten ${}L\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ . Zunächst ist für jeden Würfel

{}W\subseteq G\,

mit der Kantenlänge ${}\delta$ das Bild ${}\varphi (W)$ in einem Ball mit einem Radius ${}\leq n\delta L$ enthalten. Daher gibt es ein (von ${}\delta$ unabhängiges) ${}c>0$ mit

{}\lambda ^{n}(\varphi (W))\leq c\delta ^{n}=c\lambda ^{n}(W)\,

für alle Würfel. Diese Abschätzung gilt dann auch für alle Quader, da diese beliebig nahe durch Vereinigungen von Würfeln approximiert werden können.

Da ${}S$ eine messbare Nullmenge ist, gibt es aufgrund der Konstruktion des Borel-Lebesgue-Maßes über das äußere Maß zu jedem ${}\epsilon >0$ eine abzählbare Überpflasterung

{}S\subseteq \bigcup _{i\in I}Q_{i}\,

mit Quadern ${}Q_{i}$ und mit

{}\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\leq \epsilon \,.

Daher gilt ${}\varphi (S)\subseteq \bigcup _{i\in I}\varphi (Q_{i})$ und somit

{}\lambda ^{n}(\varphi (S))\leq \lambda ^{n}{\left(\bigcup _{i\in I}\varphi (Q_{i})\right)}\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{i}))\leq \sum _{i\in I}c\lambda ^{n}(Q_{i})=c\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\leq c\epsilon \,.

Da man ${}\epsilon$ beliebig klein wählen kann, muss ${}\varphi (S)$ eine Nullmenge sein.

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Korollar

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}S\subseteq G$ eine Nullmenge.

Dann ist auch ${}\varphi (S)$ eine Nullmenge.

Beweis

Nach (einem Spezialfall von) Lemma 55.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist ${}\varphi$ lokal Lipschitz-stetig. Die Nullmenge ${}S$ kann man abzählbar überdecken mit offenen Mengen, worauf ${}\varphi$ Lipschitz-stetig ist. Die Aussage folgt dann aus Lemma 13.5.

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Die Transformationsformel für Quader

Lemma

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

\varphi \colon G\longrightarrow H

ein ${}C^{1}$ - Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante

{}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,

für ${}x\in G$ . Es sei ${}Q\subseteq G$ ein kompakter achsenparalleler Quader.

Dann gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\lambda ^{n}(Q)\cdot {\min {\left(\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert ,x\in Q\right)}}&\leq \lambda ^{n}(\varphi (Q))\\&\leq \lambda ^{n}(Q)\cdot {\max {\left(\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert ,x\in Q\right)}}.\end{aligned}}$

Beweis

Wir setzen ${}j(x)=\vert {\det \left(D\varphi \right)_{x}}\vert$ . Wir beweisen zuerst die Abschätzung nach oben. Wir schreiben ${}\lambda ^{n}(\varphi (Q))=c\cdot \lambda ^{n}(Q)$ mit einem ${}c\neq 0$ und wir müssen ${}c\leq {\max {\left(j(x),x\in Q\right)}}$ zeigen.
Wir konstruieren induktiv eine Folge von abgeschlossenen achsenparallelen Teilquadern ${}Q_{m}$ , ${}m\in \mathbb {N}$ , mit der Eigenschaft

{}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{m}))\geq c\cdot \lambda ^{n}(Q_{m})\,.

Es sei

${}Q_{0}=Q$ . Für den Induktionsschluss von ${}m$ auf ${}m+1$ betrachten wir sämtliche ${}2^{n}$ Teilquader von ${}Q_{m}$ mit halbierter Kantenlänge. Würden diese Teilquader ${}K_{i}$ alle die Ungleichung ${}\lambda ^{n}(\varphi (K_{i}))<c\cdot \lambda ^{n}(K_{i})$ erfüllen, so ergebe sich durch Aufsummieren sofort ein Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung (wegen Korollar 13.6 sind die Ränder der Quader unerheblich). Es gibt also mindestens einen Quader ${}Q_{m+1}=K_{i}$ mit ${}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{m+1}))\geq c\cdot \lambda ^{n}(Q_{m+1})$ .
Diese Quaderschachtelung definiert in jeder Komponente eine Intervallschachtelung und damit nach Satz 7.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) einen Punkt ${}P\in \bigcap _{m\in \mathbb {N} }Q_{m}$ . Wegen der Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes können wir ${}P=0$ und ${}\varphi (P)=0$ annehmen. Es sei ${}L=\left(D\varphi \right)_{0}$ das totale Differential.
Da ${}\varphi$ in ${}0$ differenzierbar ist, gilt

{}\varphi (v)={\left(D\varphi \right)}_{0}{\left(v\right)}+\Vert {v}\Vert r(v)\,

mit einer in ${}0$ stetigen Abbildung ${}r$ , die dort den Limes ${}0$ besitzt. Die lineare Approximation

L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto L(v)={\left(D\varphi \right)}_{0}{\left(v\right)},

bildet jeden Quader ${}K$ auf ein Parallelotop ${}T=L(K)$ ab, das nach Satz 7.2 das Maß ${}\lambda ^{n}(L(K))=j(0)\cdot \lambda ^{n}(K)$ besitzt. Wir wollen ${}\varphi (K)$ mit ${}L(K)$ für einen geeigneten Quader ${}K$ vergleichen. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, ist ${}L$ ein Isomorphismus und daher gibt es ein ${}b\geq 0$ mit ${}\Vert {v}\Vert \leq b\Vert {L(v)}\Vert$ für alle ${}v$ . Somit gibt es wegen der Stetigkeit von ${}b\Vert {r(v)}\Vert$ zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit

{}\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {r(v)}\Vert \leq \epsilon \Vert {L(v)}\Vert \,

für alle ${}v$ mit ${}\Vert {v}\Vert \leq \delta$ . Es sei ${}K\subseteq B\left(0,\delta \right)$ , ${}0\in K$ , ein Quader. Für ${}v\in K$ ist

{}{\begin{aligned}\Vert {\varphi (v)-L(v)}\Vert &=\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {r(v)}\Vert \\&\leq \epsilon \Vert {L(v)}\Vert .\end{aligned}}

D.h. dass ${}\varphi (K)$ in dem Parallelotop ${}T'$ liegt, das aus ${}T=L(K)$ durch Streckung mit dem Streckungsfaktor ${}1+\epsilon$ entsteht. Damit gilt

{}\lambda ^{n}(\varphi (K))\leq \lambda ^{n}(T')=(1+\epsilon )^{n}\cdot \lambda ^{n}(T)=(1+\epsilon )^{n}\cdot j(0)\cdot \lambda ^{n}(K)\,.

Wir nehmen an, dass ${}{\max {\left(j(x),x\in Q\right)}}<c$ gilt. Dann kann man auch ein ${}\epsilon >0$ mit ${}(1+\epsilon )^{n}j(0)<c$ finden. Wir nehmen ein ${}\delta >0$ derart, dass die oben beschriebene Eigenschaft bezüglich diesem ${}\epsilon$ besitzt. Für ${}m$ hinreichend groß kann man dann die obige Überlegung auf die Quader ${}K=Q_{m}$ anwenden und erhält

{}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{m}))<c\cdot \lambda ^{n}(Q_{m})\,

im Widerspruch zur Konstruktion dieser Quaderfolge.Wir zeigen zunächst, dass die Abschätzung nach oben nicht nur für Quader, sondern für beliebige

kompakte Mengen ${}T$ gilt. Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine abzählbare Überpflasterung mit achsenparallelen Quadern ${}Q_{i}$ , ${}i\in I$ , von ${}T$ mit

{}\lambda ^{n}(T)\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\leq \lambda ^{n}(T)+\epsilon \,.

Durch Beschränkung der Kantenlängen der ${}Q_{i}$ kann man weiter erreichen, dass alle ${}Q_{i}$ in einer größeren ebenfalls kompakten Menge ${}{\tilde {T}}\supseteq T$ liegen. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von ${}j$ auf ${}{\tilde {T}}$ , die auf Satz 36.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) beruht, kann man zu gegebenem ${}{\tilde {\epsilon }}>0$ die ${}Q_{i}$ so wählen, dass ${}{\max {\left(j(x),x\in Q_{i}\right)}}\leq {\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}$ gilt. Damit ergibt sich

{}{\begin{aligned}\lambda ^{n}(\varphi (T))&\leq \lambda ^{n}{\left(\bigcup _{i\in I}\varphi (Q_{i})\right)}\\&\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{i}))\\&\leq \sum _{i\in I}{\max {\left(j(x),x\in Q_{i}\right)}}\lambda ^{n}(Q_{i})\\&\leq \sum _{i\in I}{\left({\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}\right)}\lambda ^{n}(Q_{i})\\&={\left({\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}\right)}\cdot {\left(\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\right)}\\&\leq {\left({\max {\left(j(x),x\in T\right)}}+{\tilde {\epsilon }}\right)}\cdot {\left(\lambda ^{n}(T)+\epsilon \right)}.\end{aligned}}

Da ${}\epsilon$ und ${}{\tilde {\epsilon }}$ beliebig klein gewählt werden können, gilt diese Abschätzung auch ohne ${}\epsilon$ und ${}{\tilde {\epsilon }}$ .
Wir wenden nun die Abschätzung nach oben auf die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ und ${}T=\varphi (Q)$ an. Als Bild einer kompakten Menge ist ${}T$ nach Satz 36.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) wieder kompakt. Dabei gilt aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes die Beziehung