Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 28



Der Umkehrsatz



Satz  

Es seien

integrierbare Funktionen mit den Fourier-Transformierten bzw. .

Dann gilt

Beweis  

Wir lassen den Vorfaktor in der Fourier-Transformierten weg. Es ist nach dem Satz von Fubini



Satz  

Für eine stetige beschränkte Funktion

gilt

Beweis  

Wir verwenden die Hilfsfunktionen

wobei wir hier mit die Summennorm von bezeichnen. Es ist unter Verwendung von Beispiel 27.5

Nach Satz 28.1 angewendet auf und ergibt

Daher ist auch mit der Substitution

Wir untersuchen nun das Grenzwertverhalten dieser Gleichung für . Die linke Seite wird dabei nach Satz 10.9 (mit der Majorante ) zu . Die rechte Seite wird aus dem gleichen Grund und wegen der Stetigkeit von zu . Nach dem Satz von Fubini und Aufgabe 31.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist dies gleich . Also ist insgesamt


<< | Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)