Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/topologische Gruppen

In der Mathematik ist eine topologische Gruppe eine Gruppe, die eine mit der Gruppenstruktur „verträgliche“ Topologie hat. Die topologische Struktur erlaubt es zum Beispiel, Grenzwerte in dieser Gruppe zu betrachten, und von stetigen Homomorphismen zu sprechen.

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ besteht aus einer Menge $G$ und einer Verknüpfung $\circ$. In der Algebra abstrahiert man damit von konkreten Verknüpfungen, wie $+,\cdot$, die bereits in der Grundschule einführt, auf algebraische Eigenschaften, die $+$, $\cdot$ und auch Verkettung von Abbildungen auf der Menge der Drehungen gemeinsam besitzen.

Definition - Gruppe

Eine Gruppe ist ein Paar $(G,\circ )$ bestehend aus einer Menge $G$ mit folgende Eigenschaften

${\begin{array}{rrcl}\circ :&G\times G&\rightarrow &G\\&\left(a,b\right)&\mapsto &a\circ b\end{array}}$

• (IV) $\circ$ ist eine inneren Verknüpfung auf $G$
• (AG) Für alle $a$, $b$, $c\in G$ gilt $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ (Assoziativgesetz).
• (NE) Es gibt ein neutrales Element $e\in G$, mit dem für alle $a\in G$ gilt:

$a\circ e=e\circ a=a$.

• (IE) Zu jedem $a\in G$ existiert ein inverses Element $a^{-1}\in G$ mit $a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Definition - Abelsche Gruppe

Sei $(G,\circ )$ eine Gruppe. Wenn die innere Verknüpfung $\circ$ zusätzlich das Kommuntativgesetz erfüllt, i.e.

• (KG) für alle $a,b\in G$ gilt: $a\circ b=b\circ a$

heißt $(G,\circ )$ abelsche oder kommutative Gruppe.

Aufgaben

• Zeigen Sie, dass die Menge $(G_{1},\circ )$ Drehungen in der Ebene um den Nullpunkt mit der Verkettung $\circ$ von Abbildungen als innere Verknüpfungen eine abelsche Gruppe ist mit

$G_{1}:=\{D_{\alpha }\,:\,\alpha \in [0,2\pi ){\mbox{ und }}D_{\alpha }{\mbox{ Drehung um den Winkel }}\alpha \}.$

• Zeigen Sie die Menge $(G,\circ )$ aller Kongruenzabbildungen in der Ebene und der Verkettung $\circ$ von Abbildungen als innere Verknüpfungen keine abelsche Gruppe (Hinweis: Betrachten Sie dazu z.B. zwei Geradenspiegelungen $S_{g}$ und $S_{h}$, bei der sich die Spiegelgeraden $g$ und $h$ in einem Punkt schneiden)

Bemerkungen

• Damit auch eine klammerlose Schreibweise wohldefiniert ist, setzt man $a*b*c:=(a*b)*c$.
• Eine Gruppe ist also ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses hat.

Aufgaben

• Zeigen Sie, dass das neutrale Element in einer Gruppe eindeutig bestimmt ist.
• Zeigen Sie, dass zu einem beliebigen Element $a\in G$ das inverse Element $a^{-1}\in G$ eindeutig bestimmt ist (Hinweis: Nehmen Sie an, dass es zwei Inverse $b_{1},b_{2}\in G$ gibt).

Bemerkung - Nachhaltigkeit

Bezüglich Nachhaltigkeit kann man für die algebraische Struktur festhalten, dass Prozesse im Allgemeinen nicht reversible sind und wenn die reversible (invertierbar) sind, so gibt es ggf. mehrere Optionen diese gemessenen Effekte in einem modellierten Zustandsraum wieder umzukehren. Gerade diese Entscheidungsalternative über Maßtheorie zu bewerten, ist ein Teilaspekt der Anwendung auf Nachhaltigkeit. Im Allgemeinen betrachten man in diesem Kurs Funktionenräume, wobei Funktionen $f:X\to Y$ mit Maßen ausgewertet werden. Gruppenstruktur findet man in den Argumenten der Funktion also in $f(x\circ y)$.

Definition - topologische Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ ,{\mathcal {T}})$ heißt topologische Gruppe, wenn sie mit einer Topologie ${\mathcal {T}}$ versehen ist, so dass gilt:

• (TG1) Die Gruppenverknüpfung $\circ \colon G\times G\to G$ ist stetig. Dabei wird $G\times G$ mit der Produkttopologie versehen.
• (TG2) Die Inversenabbildung $\cdot ^{-1}\colon G\to G$ ist stetig.

Beispiele - abelsche Gruppen

• (Addition) Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ mit der Addition und der gewöhnlichen Topologie bilden eine topologische Gruppe.
• (Multiplikation) Die reellen Zahlen $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ mit der Multiplikation und der gewöhnlichen Topologie bilden eine topologische Gruppe.
• (Vektorraumaddition) Allgemeiner ist der $n$-dimensionale euklidische Raum $\mathbb {R} ^{n}$ mit der Vektoraddition und der Standard-Topologie eine topologische Gruppe. Auch jeder Banachraum und Hilbertraum ist eine topologische Gruppe bezüglich der Addition.

Die obigen Beispiele sind alle abelsch.

Beispiele - topologische Algebren

• (Banachalgebra) In jeder unitären Banach-Algebra bildet die Menge der invertierbaren Elemente mit der Multiplikation eine topologische Gruppe.
• (Topologische Algebra) Sei $(A,{\mathcal {T}})$ eine topologische Algebra so kann man auf der Menge der invertierbaren Elemente ${\mathcal {G}}(A)$ die Stetigkeit der Multiplikation mit dem Topologisierungslemma für Algebren wie folgt ausdrücken:

$$\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}}}\forall _{x,y\in {\mathcal {G}}(A)}:\left\|x\cdot y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }$$

Beispiele - nichtabelsche Gruppen

• (Invertierbare Matrizen) Ein wichtiges Beispiel für eine nichtabelsche topologische Gruppe ist die Gruppe $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ aller invertierbaren reellen $n\times n$-Matrizen. Die Topologie entsteht dabei, indem man diese Gruppe als Teilmenge des euklidischen Vektorraums $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ auffasst.
• (Lie-Gruppe) $\mathbb {R} ^{n}$ ist ebenso wie $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ eine

Lie-Gruppe, das heißt eine topologische Gruppe, bei der die topologische Struktur die einer Mannigfaltigkeit ist.

• (Topologische Gruppe - aber keine Lie-Gruppe) Ein Beispiel einer topologischen Gruppe, die keine Lie-Gruppe ist, bildet die additive Gruppe der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ (sie ist eine abzählbare Menge, die nicht mit der diskreten Topologie versehen ist).
• (nichtabelsche Untergruppe) Ein nichtabelsches Beispiel ist die Untergruppe der Drehgruppe des $\mathbb {R} ^{3}$, die erzeugt wird von zwei Drehungen um irrationale Vielfache von $\pi$ (der Kreiszahl Pi) um verschiedene Achsen.

Eigenschaften

Die algebraische und die topologische Struktur für eine topologische Gruppe $G$ sind eng miteinander verknüpft. Dies wird durch folgende Eigenschaften deutlich.

Normalteiler

In einer beliebigen topologischen Gruppe ist die Zusammenhangskomponente $H_{e}$ des Neutralelementes $e\in G$ eine abgeschlossener Normalteiler von $G$, d.h. Wenn $(G,\circ ,{\mathcal {T}})$ eine topologische Gruppe ist, dann ist $H_{e}\subseteq G$ eine Untergruppe für alle $g\in G$ gilt:

$g\circ H_{e}=H_{e}\circ g$

Die Normalteilereigenschaft liefert also, dass die Linksnebenklasse und Rechtsnebenklasse zu $g$ für beliebige $g\in G$ übereinstimmen.

Homöomorphismen

Ist $a$ ein Element einer topologischen Gruppe $G$, dann sind die Linksmultiplikation und die Rechtsmultiplikation mit $a$ Homöomorphismen von $G$ nach $G$, ebenso die Inversenabbildung.

Uniforme Räume

Jede topologische Gruppe kann als uniformer Raum aufgefasst werden. Zwei elementare uniforme Strukturen, die sich aus der Gruppenstruktur ergeben, sind die linke und die rechte uniforme Struktur. Die linke uniforme Struktur macht die Linksmultiplikation gleichmäßig stetig, die rechte uniforme Struktur macht die Rechtsmultiplikation gleichmäßig stetig. Für nicht-abelsche Gruppen unterscheiden sich diese beiden uniformen Strukturen im Allgemeinen. Die uniformen Strukturen erlauben es insbesondere, Begriffe wie Vollständigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz zu definieren.

Vollständig regulär

Wie jede von einem uniformen Raum erzeugte Topologie ist die Topologie einer topologischen Gruppe vollständig regulär. Insbesondere gilt, dass eine topologische Gruppe, welche $T_{0}$ erfüllt (d. h., die ein Kolmogoroff-Raum ist), sogar ein Hausdorff-Raum ist.

Gruppenhomomorphismus

Der natürlichste Begriff eines Homomorphismus zwischen topologischen Gruppen ist derjenige eines stetigen Gruppenhomomorphismus, welches analog zu linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) bei Gruppen die Verträglichkeit mit der algebraische Struktur liefert. Sind z.B. $(G_{1},\circ ,{\mathcal {T}}_{1})$ und $(G_{2},\ast ,{\mathcal {T}}_{2})$ zwei topologische Gruppen, dann besitzt ein Gruppenhomomorphismus $f:G_{1}\to G_{2}$ folgenden Eigenschaften.

$f(a\circ b)=f(a)\ast f(b)$

Aufgaben - Gruppenhomomorphismus

Zeigen Sie, dass für einen Gruppenhomomorphismus $f:G_{1}\to G_{2}$ gilt, dass:

• $f(e_{1})=e_{2}$, wobei $e_{1}\in G_{1}$ das neutrale Element von $G_{1}$ ist und $e_{2}\in G_{2}$ das neutrale Element von $G_{2}$ und
• $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$

Aufgaben - stetigen Gruppenhomomorphismus

Zeigen Sie, dass für einen stetigen Gruppenhomomorphismus $f:G_{1}\to G_{2}$ und ein Netz $(a_{i})_{i\in I}$ mit $(a_{i})_{i\in I}\,{\stackrel {{\mathcal {T}}_{1}}{\longrightarrow }}\,a$ gilt, dass:

$\left(f(a)\ast f(a_{i})^{-1}\right)_{i\in I}\,{\stackrel {{\mathcal {T}}_{2}}{\longrightarrow }}\,e_{2}$

wobei $e_{1}\in G_{1}$ wieder das neutrale Element von $G_{1}$ ist und $e_{2}\in G_{2}$ das neutrale Element von $G_{2}$.

Bemerkung - Algebraerweiterungen

Bei einer Algebraerweiterung $B$ von $A$ verlangt man per Definition, dass ein Algebrahomomorphismus $f:A\to B$ das neutrale Element der Multiplikation $e_{A}\in A$ mit $f$ auf das neutrale Element der Multiplikation $e_{B}\in B$ abgebildet wird (d.h. $f(e_{A})=e_{B}$). In diesem Fall verlangt man das in der Definition, da mit $A\subset B$ ein neutrales Element auf einer Teilmenge nicht notwendigerweise neutral auf einer Obermenge $B$ sein muss.

Kategorie

Die topologischen Gruppen zusammen mit den stetigen Gruppenhomomorphismen bilden eine Kategorie.

Topologische Untergruppen

Jede Untergruppe einer topologischen Gruppe ist mit der Teilraumtopologie wiederum eine topologische Gruppe. Für eine Untergruppe $H$ von $G$ bilden die Links- und Rechtsnebenklassen $G/H$ zusammen mit der Quotiententopologie einen topologischen Raum.

Quotientenraum - Normalteiler

Falls $H$ ein Normalteiler von $G$ ist, so wird $G/H$ eine topologische Gruppe. Zu beachten ist aber, dass, falls $H$ in der Topologie von $G$ nicht abgeschlossen ist, die resultierende Topologie auf $G/H$ nicht hausdorffsch ist. Es ist deshalb natürlich, wenn man sich auf die Kategorie von hausdorffschen topologischen Gruppen einschränkt, nur abgeschlossene Normalteiler zu untersuchen.

Abschluss von Untergruppen

Falls $H$ eine Untergruppe von $G$ ist, so ist auch die abgeschlossene Hülle von $H$ wiederum eine Untergruppe. Ebenso ist der Abschluss eines Normalteilers wieder normal.

Siehe auch

• Topologisierungslemma für Algebren
• K-Regularität und topologische Invertierbarkeitskriterien
• Algebraerweiterung

Literatur

• Lew Pontrjagin: Topologische Gruppen. 2 Bände. Teubner, Leipzig 1957–1958.
• Guido Mislin (Hrsg.): The Hilton symposium 1993. Topics in Topology and Group Theory (= CRM Proceedings & Lecture Notes. Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1994, lSBN 0-8218-0273-9.
• Terence Tao: Hilbert's fifth problem and related topics (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 153). American Mathematical Society, Providence RI 2014, lSBN 978-1-4704-1564-8 online.

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