Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 5
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe
Aufgabe
Zeige, dass die auf in Beispiel 5.2 eingeführte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind.
Aufgabe
Definiere auf der in Beispiel 5.2 eingeführten Menge der ganzen Zahlen eine totale Ordnung, die die Ordnung auf den natürlichen Zahlen fortsetzt.
In der folgenden Aufgabe wird eine alternative Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen beschrieben.
Aufgabe
Es sei die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der positiven natürlichen Zahlen. Wir betrachten die zweielementige Menge
und die Menge
Wir wollen zu einem Modell für die ganzen Zahlen machen. Als abkürzende Schreibweise verwenden wir für das Paar und für das Paar . Man definiere eine Verknüpfung
auf , die für die Eigenschaftkommutativen Gruppe mit neutralem Element macht.
Aufgabe
Betrachte die ganzen Zahlen mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung
Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?
Aufgabe
Aufgabe
Es seien Elemente in einem Körper, wobei und nicht seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.
Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also
Zeige, dass die „beliebte Formel“
nicht gilt.
Aufgabe
Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge
eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.
Aufgabe *
Aufgabe
Beweise die Formel
Rechne dies explizit für nach.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine Menge und eine Menge mit einer Verknüpfung
Definiere auf der Abbildungsmenge
eine Verknüpfung unter Bezug auf die vorgegebene Verknüpfung. Übertragen sich die Eigenschaften Assoziativität, Kommutativität, Existenz eines neutralen Elementes, Existenz von inversen Elementen?
In der folgenden Aufgabe darf man Gesetzmäßigkeiten auf verwenden.
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige, dass die Menge der ganzen Zahlen mit der in Beispiel 5.2 eingeführten Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine Menge, ein Element und
bijektive Abbildung. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung
gibt, die die Eigenschaften
erfüllt.
In den beiden folgenden Aufgaben darf man verwenden, dass die ganzen Zahlen einen kommutativen Ring bilden.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass die in Beispiel 5.7 definierten Verknüpfungen und auf wohldefiniert sind.
Aufgabe (6 Punkte)
Zeige, dass die in Beispiel 5.7 eingeführte Quotientenmenge mit den dort eingeführten Verknüpfungen und und den Elementen und ein Körper ist.
In der folgenden Aufgabe darf man verwenden, dass ein Körper ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Wir betrachten die Menge
mit den beiden ausgezeichneten Elementen
der Addition
und der Multiplikation
Zeige, dass mit diesen Operationen ein Körper ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise die Formel
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