Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 5

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die auf ${}\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ in Beispiel 5.2 eingeführte Relation

$(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}a+d=b+c,$

eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Zeige, dass die auf ${}\mathbb {Z}$ in Beispiel 5.2 eingeführte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind.

Aufgabe

Definiere auf der in Beispiel 5.2 eingeführten Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ eine totale Ordnung, die die Ordnung auf den natürlichen Zahlen fortsetzt.

In der folgenden Aufgabe wird eine alternative Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen beschrieben.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {N}$ die Menge der natürlichen Zahlen und ${}\mathbb {N} _{+}$ die Menge der positiven natürlichen Zahlen. Wir betrachten die zweielementige Menge

$V=\{+,-\}$

und die Menge

$Z=(V\times \mathbb {N} _{+})\cup \{0\}.$

Wir wollen ${}Z$ zu einem Modell für die ganzen Zahlen machen. Als abkürzende Schreibweise verwenden wir ${}n$ für das Paar ${}(+,n)$ und ${}-n$ für das Paar ${}(-,n)$. Man definiere eine Verknüpfung

${}\oplus$ auf ${}Z$, die für ${}n,m\in \mathbb {N} _{+}$ die Eigenschaft

$n\oplus m=n+m$

erfüllt und die ${}Z$ zu einer

kommutativen Gruppe mit neutralem Element ${}0$ macht.

Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a-b.$

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel 5.7 auf ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$ eingeführte Relation

$(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,$

eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es seien ${}x,y,z,w$ Elemente in einem Körper, wobei ${}z$ und ${}w$ nicht ${}0$ seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

1. ${}{\frac {x}{1}}=x\,,$

2. ${}{\frac {1}{z}}=z^{-1}\,,$

3. ${}{\frac {1}{-1}}=-1\,,$

4. ${}{\frac {0}{z}}=0\,,$

5. ${}{\frac {z}{z}}=1\,,$

6. ${}{\frac {x}{z}}={\frac {xw}{zw}}\,,$

7. ${}{\frac {x}{z}}\cdot {\frac {y}{w}}={\frac {xy}{zw}}\,,$

8. ${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {xw+yz}{zw}}\,.$

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation (und die Subtraktion mit der Division) vertauscht, also

${}(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)\,?$

Zeige, dass die „beliebte Formel“

${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {x+y}{z+w}}\,$

nicht gilt.

Aufgabe

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge

$\{G,U\}$

eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.

Aufgabe *

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Aufgabe

Beweise die Formel

${}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,.$

Rechne dies explizit für ${}n\leq 6$ nach.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}I$ eine Menge und ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

$\star \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\star y.$

Definiere auf der Abbildungsmenge

$\operatorname {Abb} \,(I,M)={\left\{F:I\rightarrow M\mid F{\text{ Abbildung}}\right\}}$

eine Verknüpfung unter Bezug auf die vorgegebene Verknüpfung. Übertragen sich die Eigenschaften Assoziativität, Kommutativität, Existenz eines neutralen Elementes, Existenz von inversen Elementen?

In der folgenden Aufgabe darf man Gesetzmäßigkeiten auf ${}\mathbb {N}$ verwenden.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der in Beispiel 5.2 eingeführten Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}s\in M$ ein Element und

$F\colon M\longrightarrow M$

eine

bijektive Abbildung. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,k\longmapsto \varphi (k),$

gibt, die die Eigenschaften

$\varphi (0)=s{\text{ und }}\varphi (k+1)=F(\varphi (k)){\text{ für alle }}k\in \mathbb {Z}$

erfüllt.

In den beiden folgenden Aufgaben darf man verwenden, dass die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ einen kommutativen Ring bilden.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die in Beispiel 5.7 definierten Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ auf ${}\mathbb {Q}$ wohldefiniert sind.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die in Beispiel 5.7 eingeführte Quotientenmenge ${}\mathbb {Q}$ mit den dort eingeführten Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und den Elementen ${}0$ und ${}1$ ein Körper ist.

In der folgenden Aufgabe darf man verwenden, dass ${}\mathbb {Q}$ ein Körper ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Menge

${}K=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} ={\left\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\,$

mit den beiden ausgezeichneten Elementen

$0=(0,0){\text{ und }}1=(1,0),$

der Addition

${}(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)\,$

und der Multiplikation

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,.$

Zeige, dass ${}K$ mit diesen Operationen ein Körper ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Formel

${}n2^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}\,.$