Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Ferienblatt 1

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige: Für ${}n,k\in \mathbb {N}$ mit ${}n\geq k$ gilt

${}{\binom {n+1}{k+1}}=\sum _{m=k}^{n}{\binom {m}{k}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ und ${}a,b,c,d\in \mathbb {Q}$. Zeige, dass die Bedingung ${}ad-bc\neq 0$ sowohl ${}cx+d\neq 0$ als auch die Irrationalität des Quotienten ${}{\frac {ax+b}{cx+d}}$ impliziert.

Aufgabe

Es seien ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen reeller Zahlen und sei die Folge ${}(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert durch ${}z_{2n-1}:=x_{n}$ und ${}z_{2n}:=y_{n}$. Zeige, dass ${}(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann konvergiert, wenn ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.

Aufgabe

Die Folge ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sei rekursiv gegeben durch

$x_{0}:=x,x_{1}:=y,x_{n}:={\frac {1}{2}}(x_{n-1}+x_{n-2}){\mbox{ für }}n\geq 2,$

wobei ${}x,y\in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert und berechne den Grenzwert.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge ${}x_{n}:={\sqrt[{n}]{n}}$.

Aufgabe

Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum, sofern diese existieren, der folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:

1. ${}\left\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}~:~n\in \mathbb {N} _{+}\right\}$,
2. ${}\left\{{\frac {x}{1+x}}~:~x\in \mathbb {R} ,~x>-1\right\}$,
3. ${}\left\{{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}~:~n,m\in \mathbb {N} _{+}\right\}$.

Aufgabe

Sei ${}(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge wobei alle ${}y_{k}$ nicht negativ sind. Zeige, dass die Folge ${}x_{n}:={\sqrt[{n}]{y_{1}^{n}+y_{2}^{n}+\ldots +y_{n}^{n}}}$ gegen das Supremum der Menge ${}\{y_{k}:k\in \mathbb {N} \}$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die durch

$x_{1}:=1,\,x_{n+1}:={\frac {2+x_{n}}{1+x_{n}}},$

rekursiv definierte Folge konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ${}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ und ${}a,b,c,d\in \mathbb {Q}$. Zeige, dass aus ${}ad-bc=0$ entweder ${}cx+d=0$ oder ${}{\frac {ax+b}{cx+d}}\in \mathbb {Q}$ folgt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für jede reelle Zahl ${}x>0$ die Ungleichung ${}x+{\frac {1}{x}}\geq 2$ erfüllt ist. Wann gilt Gleichheit?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}y\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}n\in \mathbb {N}$, ${}n\geq 2$. Zeige, dass ${}(1+y)^{n}\geq {\frac {n^{2}y^{2}}{4}}$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die durch ${}x_{0}:=1,x_{n+1}:=x_{n}+{\frac {1}{x_{n}}}$ rekursiv definierte Folge ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Ist ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt? Konvergiert die Folge?

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung den Grenzwert der Folge

${}x_{n}:={\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}^{n}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Konvergiert die Folge ${}x_{n}:={\sqrt[{n}]{n!}}$?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}c\in {]0,1[}$ und ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zeige die folgende Aussage:

Gilt ab einem ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ die Ungleichung ${}\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq c\vert {x_{n}-x_{n-1}}\vert$, so ist ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.

Ist die Aussage immer noch richtig, wenn man ${}c\in {]0,1[}$ durch ${}c=1$ ersetzt?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}A:=\{z\in {\mathbb {C} }:\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\geq (\operatorname {Re} \,{\left(z\right)})^{2}+1\}\subset {\mathbb {C} }$. Zeige die folgende Aussage: Sind ${}z_{1},z_{2}\in A$ und ist ${}\lambda \in [0,1]$, so ist auch ${}\lambda z_{1}+(1-\lambda )z_{2}\in A$.

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,-w&=&1\\2x&+5y&-7z&-5w&=&-2\\2x&\,\,\,\,-y&+z&+3w&=&4\\5x&+2y&-4z&+2w&=&6\,.\end{matrix}}$

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