Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine
obere Treppenfunktion
zu einer Funktion
-
auf einem beschränkten Intervall
.
- Das totale Differential in einem Punkt
einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung
-
(dabei seien
und
endlichdimensionale reelle Vektorräume).
- Den
Tangentialraum
an die Faser einer
stetig differenzierbare Abbildung
-
zwischen endlichdimensionalen
-
Vektorräumen
durch einen Punkt
, in dem das totale Differential surjektiv ist.
- Ein
(zeitabhängiges)
Vektorfeld
auf einer offenen Menge
.
- Eine
Bilinearform
auf einem
-
Vektorraum
.
- Die
Gramsche Matrix
zu einer
Bilinearform
auf einem
-
Vektorraum
bezüglich einer
Basis
von
.
- Der
Dualraum
zu einem
-
Vektorraum
.
- Eine
trigonalisierbare
lineare Abbildung
,
wobei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
- Die
Formel für die Länge
einer Kurve
-
- Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
-
in einem Punkt
.
- Der
Satz über die Umkehrabbildung.
Berechne das
bestimmte Integral
zur Funktion
-
über
.
Wir betrachten die Funktion
-
a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von
.
b) Bestimme eine Stammfunktion von
für
.
Es sei
-
eine
stetig differenzierbare Kurve
und sei
-
eine
lineare Isometrie.
Beweise die Längengleichheit
-

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
-
a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.
b) Zeige, dass
im Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Zeige, dass
in
regulär ist.
Untersuche die
Funktion
-
auf
kritische Punkte
und
Extrema.
Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Beweise den
Satz über implizite Abbildungen
für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung
-
Für welche Punkte
sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?
Wir betrachten die Funktion
-
Für welche
,
,
besitzt die zugehörige dreistufige
(maximale)
untere Treppenfunktion
zu
den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
-
b) Löse das Anfangswertproblem
-
mit der Anfangsbedingung
.
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