Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/2/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion
$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ .
Das totale Differential in einem Punkt ${}P\in V$ einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung
$\varphi \colon V\longrightarrow W$
(dabei seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume).
Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung
$\varphi \colon V\longrightarrow W$
zwischen endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorräumen durch einen Punkt ${}P\in V$ , in dem das totale Differential surjektiv ist.
Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ .
Eine Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$ -Vektorraum ${}V$ .
Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$ -Vektorraum ${}V$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ .
Der Dualraum zu einem ${}K$ -Vektorraum ${}V$ .
Eine trigonalisierbare lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ , wobei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ -Vektorraum ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
Die Formel für die Länge einer Kurve
$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
$\varphi \colon V\longrightarrow W$
in einem Punkt
${}P\in V$ .
Der Satz über die Umkehrabbildung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {x}}-{\frac {1}{\sqrt {x}}}+{\frac {1}{2x+3}}-e^{-x},

über ${}[1,4]$ .

Aufgabe * (9 (6+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}.

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von ${}f$ .

b) Bestimme eine Stammfunktion von ${}f$ für ${}x>1$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit

{}L(\gamma )=L(\varphi \circ \gamma )\,.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(a,b,c,d,u,v)\longmapsto (au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^{2},bd-c^{2}).

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}(1,1,0,0,1,1)$ regulär ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+xy-6y^{2}-y,

auf kritische Punkte und Extrema.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}.

Für welche Punkte ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?

Aufgabe * (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.

Für welche ${}x,y\in [0,1]$ , ${}x<y$ , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?