Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 31

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Treppenintegral über ${}[-3,+4]$ zur Treppenfunktion, die durch

${}f(t)={\begin{cases}5,{\text{ falls }}-3\leq t\leq -2\,,\\-3,{\text{ falls }}-2<t\leq -1\,,\\{\frac {3}{7}},{\text{ falls }}-1<t<-{\frac {1}{2}}\,,\\13,{\text{ falls }}t=-{\frac {1}{2}}\,,\\\pi ,{\text{ falls }}-{\frac {1}{2}}<t<e\,,\\0,{\text{ falls }}e\leq t\leq 3\,,\\1,{\text{ falls }}3<t\leq 4\,,\end{cases}}\,$

gegeben ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch

1. ${}f+g$,
2. ${}f\cdot g$,
3. ${}{\max {\left(f,g\right)}}$,
4. ${}{\min {\left(f,g\right)}}$,

Treppenfunktionen sind.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

eine Treppenfunktion und

$g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{1}t\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{1}^{2}t^{3}\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgende Formel.

${}\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}s_{n}\leq f$ und eine Folge von Treppenfunktionen ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}t_{n}\geq f$. Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann ${}f$ Riemann-integrierbar ist und dass

${}\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}s_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}t_{n}(x)\,dx\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Die Funktion ${}f$ ist Riemann-integrierbar.
2. Es gibt eine Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ derart, dass die einzelnen Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar sind.
3. Für jede Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ sind die Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar.

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Ist ${}m\leq f(x)\leq M$ für alle ${}x\in I$, so ist ${}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)$.
2. Ist ${}f(x)\leq g(x)$ für alle ${}x\in I$, so ist ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}g(t)\,dt$.
3. Es ist ${}\int _{a}^{b}f(t)+g(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt+\int _{a}^{b}g(t)\,dt$.
4. Für ${}c\in \mathbb {R}$ ist ${}\int _{a}^{b}(cf)(t)\,dt=c\int _{a}^{b}f(t)\,dt$.

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeige, dass

$\vert {\int _{a}^{b}f(t)\,dt}\vert \leq \int _{a}^{b}\vert {f(t)}\vert \,dt$

gilt.

Aufgabe

Bringe die Begriffe Steuersatz und Grenzsteuersatz mit Treppenfunktionen und Treppenintegralen in Verbindung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

und einer Treppenfunktion

$g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine monotone Funktion. Zeige, dass ${}f$ Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das bestimmte Integral

$\int _{a}^{b}t^{2}\,dt$

in Abhängigkeit von ${}a$ und ${}b$ explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{-2}^{7}-t^{3}+3t^{2}-2t+5\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die Funktion

$]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$

weder das Unterintegral noch das Oberintegral existiert.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass für die Funktion

$]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x}}},$

das Unterintegral existiert, aber nicht das Oberintegral.

Aufgabe (8 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{1}^{2}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

mit

$f(t)={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\\sin {\frac {1}{t}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}$

Zeige, dass ${}f$ Riemann-integrierbar ist, dass es aber keine Treppenfunktion ${}s$ mit der Eigenschaft gibt, dass ${}\vert {s(t)-f(t)}\vert \leq {\frac {1}{2}}$ für alle ${}t\in [0,1]$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch ${}fg$ Riemann-integrierbar ist.