Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 39/latex

\setcounter{section}{39}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die zugrunde liegenden \definitionsverweis {Vektorfelder}{}{} der Differentialgleichungen
\mathdisp {y'= { \frac{ 1 }{ y } } ,\, y' = ty^3 \text{ und } y' = -ty^3} { }
sowie die in Beispiel 39.4, Beispiel 39.7 und Beispiel 39.8 angegebenen Lösungskurven.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige die in Beispiel 39.4, Beispiel 39.7 und Beispiel 39.8 gefundenen Lösungskurven der \definitionsverweis {Differentialgleichungen}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ 1 }{ y } } ,\, y' = ty^3 \text{ und } y' = -ty^3} { }
durch \definitionsverweis {Ableiten}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere eine \definitionsverweis {ortsunabhängige Differentialgleichung}{}{} als eine \definitionsverweis {Differentialgleichung mit getrennten Variablen}{}{} anhand des Lösungsansatzes für getrennte Variablen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Erhält man dabei alle Lösungen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= e^y} { , }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ 1 }{ \sin y } }} { , }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse die \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { ty }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die in Beispiel 39.9 gefundenen Lösungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t) }
{ =} { { \frac{ g }{ 1+ \exp (-st) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der logistischen Differentialgleichung.

a) Skizziere diese Funktion \zusatzklammer {für geeignete \mathkor {} {s} {und} {g} {}} {} {.}

b) Bestimme die Grenzwerte für \mathkor {} {t \rightarrow \infty} {und} {t \rightarrow - \infty} {.}

c) Studiere das \definitionsverweis {Monotonieverhalten}{}{} dieser Funktionen.

d) Für welche $t$ besitzt die Ableitung von $y(t)$ ein \definitionsverweis {Maximum}{}{} \zusatzklammer {für die Funktion selbst bedeutet dies einen \definitionsverweis {Wendepunkt}{}{,} man spricht auch von einem \stichwort {Vitalitätsknick} {}} {} {.}

e) Über welche Symmetrien verfügen diese Funktionen?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { g(t)\cdot y^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbeledisp {g} {\R} {\R } {t} {g(t) } {,} auf einem Intervall $I'$ die Lösungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t) }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ G(t) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzt, wobei
\mathl{G}{} eine Stammfunktion zu $g$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G(I') }
{ \subseteq }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=ty^2,\, y> 0} { , }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=t^3y^3, \, y > 0} { , }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein \definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {]a,b[} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {fallende Folge}{}{} in $I$ mit dem \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $a$ und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {wachsende Folge}{}{} in $I$ mit dem \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $b$. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass die Folge
\mathdisp {w_n = \int_{ x_n }^{ y_n } f ( t) \, d t} { }
gegen das uneigentliche Integral konvergiert.

}
{} {}