Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 45/latex

\setcounter{section}{45}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K}^2 } {{\mathbb K}^2 } {(x,y)} {\left( xy-2y^3+5 , \, x^3-xy^2+y \right) } {,} in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(1,2)}{?}

c) Berechne die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(4,-3)}{.}

d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K}^3 } { {\mathbb K}^2 } {(x,y,z)} {( xy-zy+2z^2, \sin (x^2yz)) } {,} in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(1,-1,\pi)}{?}

c) Berechne die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(2,0,5)}{.}

d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der \definitionsverweis {Determinante}{}{} \maabbeledisp {\det} {\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K}) } { {\mathbb K} } {M} { \det M } {,} für
\mathl{n=2,3}{} an der \definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} eine \definitionsverweis {nicht-ausgeartete}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{,}
\mathl{U \subseteq V}{} offen und \maabbdisp {f} {V} {\R } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Es sei \maabbdisp {\gamma} {I} {U } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{,} die ganz in einer \definitionsverweis {Niveaumenge}{}{} von $f$ verläuft. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \operatorname{grad} \, f (P) , \gamma'(t) \right\rangle }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist für
\mathl{P= \gamma (t)}{} und alle
\mathl{t \in I}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(P) }
{ =} {Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{,} die im Punkt
\mathl{Q \in M}{} ein \definitionsverweis {lokales Extremum}{}{} besitze. Zeige, dass
\mathdisp {f \circ \varphi} { }
in $P$ ein lokales Extremum besitzt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb K}^2 } { {\mathbb K}^3 } {(x,y)} {( x+y^2,xy, \exp x) } {,} in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(3,2)}{?}

c) Berechne die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(-1,-7)}{.}

d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = \begin{cases} { \frac{ xy }{ \sqrt{x^2+y^2} } } \text{ bei } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ bei } (x,y) = (0,0) \, , \end{cases} } {} auf \definitionsverweis {partielle Ableitungen}{}{} und \definitionsverweis {totale Differenzierbarkeit}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass keine \definitionsverweis {partiell differenzierbare Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R^2} {\R } {} existiert, so dass
\mathdisp {{ \frac{ \partial f }{ \partial x } } (x,y) = xy \text{ und } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } (x,y) = y^2} { }
für alle $(x,y) \in \R^2$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K} ^2 } { {\mathbb K}^3 } {(u,v)} {(uv,u-v,v^2) } {,} und \maabbeledisp {\psi} { {\mathbb K}^3} { {\mathbb K}^2 } {(x,y,z)} {(xyz^2,y \exp(xz)) } {,} und ihrer Komposition
\mathl{\psi \circ \varphi}{} veranschaulichen. \aufzaehlungfuenf{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb K}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} mit Hilfe von \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.} }{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{ {\mathbb K}^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das totale Differential
\mathl{\left(D\psi\right)_{Q}}{} mit Hilfe von partiellen Ableitungen. }{Berechne explizit die Komposition \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2 } {.} }{Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb K}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das totale Differential von \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2 } {.} }{Berechne das totale Differential von \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2 } {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb K}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2). }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xf(y) } {,} genau dann im Punkt
\mathl{(0,0)}{} \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist, wenn $f$ in $0$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} { \R^n} { \R^n } {} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} im Nullpunkt und sei
\mathl{{(h_m)}_{m \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in
\mathl{\R^n \setminus \{ 0\}}{} mit
\mathdisp {\lim_{m \to \infty} h_m = 0, \lim_{m \to \infty} \frac{h_m}{ \Vert {h_m} \Vert } = v \in \R^n, f(h_m) = f(h_k) \text { für alle } m,k \in \N} { . }
Zeige, dass $v$ ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} von $\left(Df\right)_{0}$ zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {\varphi} { \R} { \R^n } {} und eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {,} für die die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung \maabbdisp {f \circ \varphi} {\R} {\R } {} nicht differenzierbar ist.

}
{} {}