Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 55/latex

\setcounter{section}{55}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Welche \definitionsverweis {linearen Vektorfelder}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^n} {\R^n } {v} {Mv } {,} sind \definitionsverweis {Gradientenfelder}{}{?} Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige folgende Eigenschaften. \aufzaehlungfuenf{Der \definitionsverweis {Nullraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.} }{
\mathl{V}{} ist $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.} }{\definitionsverweis {Eigenräume}{}{} sind $\varphi$-invariant. }{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2 }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} $\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch
\mathl{U_1 \cap U_2}{} und
\mathl{U_1 + U_2}{} $\varphi$-invariant. }{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der \definitionsverweis {Bild\-raum}{}{}
\mathl{\varphi(U)}{} und der \definitionsverweis {Urbildraum}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(U)}{} $\varphi$-invariant. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {V_0 }
{ \subset} {V_1 }
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1} }
{ \subset} { V_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} eine \definitionsverweis {Fahne}{}{} in $V$. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} derart gibt, dass diese Fahne die einzige $\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der kleinste $\varphi$-\definitionsverweis {invariante Unterraum}{}{} von $V$, der $v$ enthält, gleich
\mathdisp {\langle \varphi^n(v) ,\, n \in \N \rangle} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U }
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \text{ es gibt ein } n \in \N \text{ mit } \varphi^n(v) = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Teilmenge von $V$ ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Unterraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere: eine \stichwort {lineare Differentialgleichung höherer Ordnung} {} \zusatzklammer {\stichwort {homogen} {}/\stichwort {inhomogen} {;} mit \stichwort {konstanten Koeffizienten} {}} {} {.} Zeige, dass eine solche lineare Differentialgleichung höherer Ordnung zu einem entsprechenden linearen Differentialgleichungssystem wie in Lemma 54.8 äquivalent ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 7 & 9 & 8 \\ 6 & 2 & -7 \end{pmatrix}} { }
über $\R$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $f$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist. Zeige, dass dann $f$ sogar \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M}{} eine \definitionsverweis {reelle}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,} die über $\R$ nicht \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist. Zeige, dass $M$ über ${\mathbb C}$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} werde bezüglich der Standardbasis durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine \definitionsverweis {Basis}{}{,} bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime} }
{ =} { -ay }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit
\mathl{a>0}{}} {} {} und der \definitionsverweis {Anfangsbedingung}{}{} \mathkor {} {y(0)=x} {und} {y'(0)=v} {.}

}
{} {}

Die für
\mathbed {t \in \R} {}
{-1 < t< 1} {}
{} {} {} {,} und ein
\mathl{n\in \N}{} definierte \definitionsverweis {lineare Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} - \frac{2t}{1-t^2}y'+ \frac{n(n+1)}{1-t^2} y =0} { }
heißt \definitionswort {Legendresche Differentialgleichung}{} zum Parameter $n$.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das $n$-te \stichwort {Legendre-Polynom} {}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2^n (n!) } } ((t^2-1)^n)^{(n)}} { }
eine Lösung der \definitionsverweis {Legendreschen Differentialgleichung}{}{} zum Parameter $n$ ist.

}
{} {}