Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 55

Lineare Differentialgleichungssysteme

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$

sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

Es handelt sich also um die Differentialgleichung zum Vektorfeld

$f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto f(t,v)=(M(t))v={\begin{pmatrix}a_{11}(t)v_{1}+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}\\\vdots \\a_{n1}(t)v_{1}+\cdots +a_{nn}(t)v_{n}\end{pmatrix}}.$

Dieses Vektorfeld ist zu jedem fixierten Zeitpunkt ${}t\in I$ eine lineare Abbildung

${\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{n},\,v\longmapsto M(t)v.$

Ausgeschrieben liegt das Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v'_{1}\\\vdots \\v'_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}(t)v_{1}+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}\\\vdots \\a_{n1}(t)v_{1}+\cdots +a_{nn}(t)v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}(t)&\cdots &a_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(t)&\cdots &a_{nn}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

vor. Es gibt immer die Nulllösung, also die konstante Abbildung mit dem Nullvektor als Wert, diese nennt man auch die triviale Lösung.

Für lineare Differentialgleichungssysteme gibt es wieder eine inhomogene Variante.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv+z\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$

sind und wobei

$z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},$

eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung ${}z$ heißt dabei Störabbildung.

Insgesamt liegt das Differentialgleichungssystem

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v'_{1}\\\vdots \\v'_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}a_{11}(t)v_{1}+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}+z_{1}(t)\\\vdots \\a_{n1}(t)v_{1}+\cdots +a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a_{11}(t)&\cdots &a_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(t)&\cdots &a_{nn}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

vor.

Die explizite Lösbarkeit eines solchen Systems hängt natürlich von der Kompliziertheit der beteiligten Funktionen ${}a_{ij}$ und ${}z_{i}$ ab. In der folgenden Situation kann man das System auf einzelne eindimensionale lineare inhomogene Differentialgleichungen zurückführen und dadurch sukzessive lösen.

Lemma

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}\,$

mit stetigen Funktionen ${}a_{ij}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}z_{i}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und den Anfangsbedingungen

$v_{i}(t_{0})=w_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für }}i=1,\ldots ,n\,\,(t_{0}\in I)$

vor.

Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich

$v_{n}'=a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t){\text{ mit }}v_{n}(t_{0})=w_{n},$

$v_{n-1}'=a_{n-1\,n-1}(t)v_{n-1}+a_{n-1\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-1}(t){\text{ mit }}v_{n-1}(t_{0})=w_{n-1},$

$v_{n-2}'=a_{n-2\,n-2}(t)v_{n-2}+a_{n-2\,n-1}(t)v_{n-1}(t)+a_{n-2\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-2}(t){\text{ mit }}v_{n-2}(t_{0})=w_{n-2},$

$\vdots$

$v_{1}'=a_{11}(t)v_{1}+a_{12}(t)v_{2}(t)+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}(t)+z_{1}(t){\text{ mit }}v_{1}(t_{0})=w_{1},$

löst.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Die Lösungen eines solchen linearen Differentialgleichungssystems in oberer Dreiecksgestalt stehen also in Bijektion zu den Lösungen der ${}n$ linearen inhomogenen Differentialgleichungen in einer Ortsvariablen, wobei die Störfunktionen jeweils mit den anderen Lösungen in der beschriebenen Weise zusammenhängen. Insbesondere übertragen sich Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen.

Auch wenn man ein homogenes System lösen möchte, so muss man in den Einzelschritten inhomogene Differentialgleichungen lösen.

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Falls die Funktionen ${}a_{ij}$ alle konstant sind, so spricht man von einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, welche im Wesentlichen mit Mitteln der linearen Algebra gelöst werden können. Dazu ist es sinnvoll, von vornherein auch komplexe Koeffizienten zuzulassen

Definition

Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix mit Einträgen ${}a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv+z\,,$

wobei ${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$ eine Matrix mit Einträgen ${}a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist und

$z\colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Die Störfunktion muss also nicht konstant sein.

Trigonalisierbare lineare Abbildungen

Um die Lösungstheorie für Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten zu entwickeln, müssen wir über trigonalisierbare lineare Abbildungen sprechen, einem wichtigen Kapitel der linearen Algebra, das zur Eigenraumtheorie gehört.

Eine Fahne setzt sich aus dem Fußpunkt, der Fahnenstange, dem Fahnentuch und dem Raum, in dem das Tuch weht, zusammen.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ Dann heißt eine Kette von Untervektorräumen

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in ${}V$.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ${}\varphi$-invariant, wenn

${}\varphi (U)\subseteq U\,$

gilt.

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum der Dimension ${}n$ und

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Eine Fahne

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}\,$

heißt ${}f$-invariant, wenn ${}f(V_{i})\subseteq V_{i}$ für alle ${}i=0,1,\ldots ,n-1,n$ ist.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlich-dimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt${}f$ trigonalisierbar, wenn ${}V$ eine ${}f$- invariante Fahne besitzt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist trigonalisierbar.
2. Die Abbildung ${}\varphi$ wird bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben.
3. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ mit

${}V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,.$

Da es sich dabei um eine ${}\varphi$-invariante Fahne handelt, gilt

$\varphi (v_{i})=b_{1i}v_{1}+b_{2i}v_{2}+\cdots +b_{ii}v_{i}.$

Bezüglich dieser Basis besitzt die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ obere Dreiecksgestalt.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$, wobei ${}M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also eine obere Dreiecksmatrix nehmen, und daher ist nach Lemma 14.8 das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
${}(3)\Rightarrow (1)$. Induktion nach ${}n$, für ${}n=0$ ist nichts zu zeigen. Es sei nun ${}n\geq 1$ und sei die Aussage für alle Endomorphismen auf Vektorräumen der Dimension ${}<n$ schon bewiesen. Es sei ${}\lambda _{1}$ eine Nullstelle von ${}P=\chi _{\varphi }$. Dann gibt es nach Satz 17.8 einen Eigenvektor ${}v_{1}\in V$ zum Eigenwert ${}\lambda _{1}$. Es sei ${}u_{2},\ldots ,u_{n}$ eine Ergänzung von ${}v_{1}$ zu einer Basis von ${}V$. Wir setzen ${}U=\langle u_{2},\ldots ,u_{n}\rangle$, dies ist ein ${}(n-1)$-dimensionaler Untervektorraum. Es ist

$\varphi (u_{i})=a_{i}v_{1}+b_{2i}u_{2}+\cdots +b_{ni}u_{n}.$

Durch die Festlegung

$g(u_{i})=a_{i}v_{1}\in V$

erhalten wir eine lineare Abbildung

$g\colon U\longrightarrow V,$

und durch die Festlegung

${}h(u_{i})=b_{i2}u_{2}+\cdots +b_{in}u_{n}\,$

erhalten wir eine lineare Abbildung

$h\colon U\longrightarrow U.$

Mit diesen Abbildungen gilt

${}\varphi (u)=g(u)+h(u)\,$

für ${}u\in U$, da dies für die Basis gilt. In der Basis ${}v_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ besitzt ${}\varphi$ die Gestalt

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\0&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\0&\vdots &\ddots &\vdots \\0&b_{n2}&\cdots &b_{nn}\end{pmatrix}}.$

Die Teilmatrix ${}N$ rechts unten ist dabei die beschreibende Matrix von ${}h$. Für das charakteristische Polynom gilt die Beziehung

${}\chi _{M}=(X-\lambda _{1})\chi _{N}\,,$

sodass nach Lemma 17.4 auch

${}\chi _{N}=\chi _{h}\,$

in Linearfaktoren zerfällt. Wir können also auf ${}h\colon U\rightarrow U$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. D.h. es gibt eine ${}h$- invariante Fahne

${}0=U_{0}\subset U_{1}\subset \ldots \subset U_{n-2}\subset U_{n-1}=U\,.$

Damit definieren wir

${}V_{i+1}:=Kv_{1}+U_{i}\,$

für ${}i=0,\ldots ,n-1$ und erhalten die Fahne

$0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V.$

Diese Fahne ist ${}f$-invariant. Dies ist für ${}V_{1}$ klar, da dies ein Eigenraum ist. Ansonsten gilt für ${}v\in V_{i}$ mit ${}v=cv_{1}+u$ mit ${}u\in U_{i}$ die Beziehung

${}\varphi (cv_{1}+u)=c\lambda v_{1}+\varphi (u)=c\lambda v_{1}+g(u)+h(u)=(c\lambda +a)v_{1}+h(u)\,,$

und dies gehört zu ${}V_{i}$.

Der Zusatz ergibt sich wie folgt. Die trigonalisierbare Abbildung ${}\varphi$ werde bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$ durch die Matrix ${}M$ beschrieben, und bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ durch die obere Dreiecksmatrix ${}D$. Dann gilt nach Korollar 13.11 die Beziehung ${}T=BMB^{-1}$, wobei ${}B$ den Basiswechsel beschreibt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.

Dann ist ${}M$ trigonalisierbar.

Beweis

Dies folgt aus Satz 25.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und dem Fundamentalsatz der Algebra.

$\Box$

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