. Aufgrund des
Basisergänzungssatzes
gibt es eine Basis
von
mit
-
![{\displaystyle {}V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d3da17de0b67b5d26517d53e5e99264f38e916)
Da es sich dabei um eine
-invariante Fahne
handelt, gilt
-
Bezüglich dieser Basis besitzt die
beschreibende Matrix
zu
obere Dreiecksgestalt.
. Das charakteristische Polynom von
ist gleich dem charakteristischen Polynom
, wobei
eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also eine obere Dreiecksmatrix nehmen, und daher ist nach
Fakt
das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
. Induktion nach
, für
ist nichts zu zeigen. Es sei nun
und sei die Aussage für alle Endomorphismen auf Vektorräumen der Dimension
schon bewiesen. Es sei
eine Nullstelle von
. Dann gibt es nach
Fakt
einen
Eigenvektor
zum Eigenwert
. Es sei
eine Ergänzung von
zu einer Basis von
. Wir setzen
, dies ist ein
-dimensionaler Untervektorraum. Es ist
-
Durch die Festlegung
-
erhalten wir eine lineare Abbildung
-
und durch die Festlegung
-
![{\displaystyle {}h(u_{i})=b_{i2}u_{2}+\cdots +b_{in}u_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a1452b72507e1abbae5258d093687f992bd872)
erhalten wir eine lineare Abbildung
-
Mit diesen Abbildungen gilt
-
![{\displaystyle {}\varphi (u)=g(u)+h(u)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06fb09c53de0b155c8a0a8a85a72b446a8f8c80f)
für
, da dies für die Basis gilt. In der Basis
besitzt
die Gestalt
-
Die Teilmatrix
rechts unten ist dabei die beschreibende Matrix von
. Für das charakteristische Polynom gilt die Beziehung
-
![{\displaystyle {}\chi _{M}=(X-\lambda _{1})\chi _{N}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1169c8b4eb9f12a6435dd0a71178cabd312c5d62)
so dass nach
Fakt
auch
-
![{\displaystyle {}\chi _{N}=\chi _{h}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f688498053aedd5a2d9ac4eb19effdccfd451ba)
in
Linearfaktoren
zerfällt. Wir können also auf
die Induktionsvoraussetzung anwenden. D.h. es gibt eine
-invariante Fahne
-
![{\displaystyle {}0=U_{0}\subset U_{1}\subset \ldots \subset U_{n-2}\subset U_{n-1}=U\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec70b7e9af8e3d151fea253fcae5566fcb839d9)
Damit definieren wir
-
![{\displaystyle {}V_{i+1}:=Kv_{1}+U_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e721d809cc9a35795e775ecd471926d2be9299)
für
und erhalten die
Fahne
-
Diese Fahne ist
-invariant. Dies ist für
klar, da dies ein Eigenraum ist. Ansonsten gilt für
mit
mit
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}\varphi (cv_{1}+u)=c\lambda v_{1}+\varphi (u)=c\lambda v_{1}+g(u)+h(u)=(c\lambda +a)v_{1}+h(u)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3837dd7618f2d86e1383ad4d5301f5ba50ea68ff)
und dies gehört zu
.
Der Zusatz ergibt sich wie folgt. Die trigonalisierbare Abbildung
werde bezüglich der Basis
durch die Matrix
beschrieben, und bezüglich der Basis
durch die obere Dreiecksmatrix
. Dann gilt nach
Fakt
die Beziehung
, wobei
den Basiswechsel beschreibt.