. Aufgrund des
Basisergänzungssatzes
gibt es eine Basis von mit
-
Da es sich dabei um eine -invariante Fahne
handelt, gilt
-
Bezüglich dieser Basis besitzt die
beschreibende Matrix
zu
obere Dreiecksgestalt.
. Das charakteristische Polynom von ist gleich dem charakteristischen Polynom , wobei eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also eine obere Dreiecksmatrix nehmen, und daher ist nach
Fakt
das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
. Induktion nach , für
ist nichts zu zeigen. Es sei nun und sei die Aussage für alle Endomorphismen auf Vektorräumen der Dimension schon bewiesen. Es sei eine Nullstelle von . Dann gibt es nach
Fakt
einen
Eigenvektor
zum Eigenwert . Es sei eine Ergänzung von zu einer Basis von . Wir setzen , dies ist ein -dimensionaler Untervektorraum. Es ist
-
Durch die Festlegung
-
erhalten wir eine lineare Abbildung
-
und durch die Festlegung
-
erhalten wir eine lineare Abbildung
-
Mit diesen Abbildungen gilt
-
für , da dies für die Basis gilt. In der Basis besitzt die Gestalt
-
Die Teilmatrix rechts unten ist dabei die beschreibende Matrix von . Für das charakteristische Polynom gilt die Beziehung
-
sodass nach
Fakt
auch
-
in
Linearfaktoren
zerfällt. Wir können also auf
die Induktionsvoraussetzung anwenden. D.h. es gibt eine
-invariante Fahne
-
Damit definieren wir
-
für und erhalten die
Fahne
-
Diese Fahne ist -invariant. Dies ist für klar, da dies ein Eigenraum ist. Ansonsten gilt für mit
mit die Beziehung
-
und dies gehört zu .
Der Zusatz ergibt sich wie folgt. Die trigonalisierbare Abbildung werde bezüglich der Basis durch die Matrix beschrieben, und bezüglich der Basis durch die obere Dreiecksmatrix . Dann gilt nach
Fakt
die Beziehung , wobei den Basiswechsel beschreibt.