Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Beweis

. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis von mit

Da es sich dabei um eine -invariante Fahne handelt, gilt

Bezüglich dieser Basis besitzt die beschreibende Matrix zu obere Dreiecksgestalt.
. Das charakteristische Polynom von ist gleich dem charakteristischen Polynom , wobei eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also eine obere Dreiecksmatrix nehmen, und daher ist nach Fakt das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
. Induktion nach , für ist nichts zu zeigen. Sei nun und sei die Aussage für alle Endomorphismen auf Vektorräumen der Dimension schon bewiesen. Es sei eine Nullstelle von . Dann gibt es nach Fakt einen Eigenvektor zum Eigenwert . Es sei eine Ergänzung von zu einer Basis von . Wir setzen , dies ist ein -dimensionaler Untervektorraum. Es ist

Durch die Festlegung

erhalten wir eine lineare Abbildung

und durch die Festlegung

erhalten wir eine lineare Abbildung

Mit diesen Abbildungen gilt

für , da dies für die Basis gilt. In der Basis besitzt die Gestalt

Die Teilmatrix rechts unten ist dabei die beschreibende Matrix von . Für das charakteristische Polynom gilt die Beziehung

so dass nach Fakt auch

in Linearfaktoren zerfällt. Wir können also auf die Induktionsvoraussetzung anwenden. D.h. es gibt eine -invariante Fahne

Damit definieren wir

für und erhalten die Fahne

Diese Fahne ist -invariant. Dies ist für klar, da dies ein Eigenraum ist. Ansonsten gilt für mit mit die Beziehung

und dies gehört zu .


Der Zusatz ergibt sich wie folgt. Die trigonalisierbare Abbildung werde bezüglich der Basis durch die Matrix beschrieben, und bezüglich der Basis durch die obere Dreiecksmatrix . Dann gilt nach Fakt die Beziehung , wobei den Basiswechsel beschreibt.