Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 73/latex

\setcounter{section}{73}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen einer gleichseitigen Pyramide \zusatzklammer {eines \stichwort {Tetraeders} {}} {} {} mit Seitenlänge $1$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Sinusbogen zwischen \mathkor {} {0} {und} {\pi} {} um die $x$-Achse gedreht wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Standardparabel um die $y$-Achse gedreht wird und dies mit der Ebene zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ = }{ h }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \anfuehrung{gedeckelt}{} wird, in Abhängigkeit von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Fasse die Einheitskugel als \definitionsverweis {Rotationskörper}{}{} auf und berechne damit ihr Volumen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wo liegt der Fehler in Beispiel 73.7?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere den Wikipediaartikel \anfuehrung{Prinzip von Cavalieri}{,} insbesondere in Hinblick auf die Formulierung:

\anfuehrung{Aus dem Prinzip von Cavalieri lässt sich herleiten, dass das Volumen eines 'höhengedehnten' Körpers (bei gleichbleibender Grundfläche) proportional zu seiner Höhe ist. Als Beispiel: Ein Körper, dessen Höhe auf diese Weise verdoppelt wird, kann durch 2 gleiche Ausgangskörper konstruiert werden, indem zuerst alle äquivalenten Schnittflächen zusammengelegt werden und diese in der entsprechenden Reihenfolge des Ausgangskörpers aufgeschichtet werden (beide Ausgangskörper werden quasi ineinandergeschoben) }{.} \zusatzklammer {Version vom 16. November 2015} {} {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ die \definitionsverweis {Kreisscheibe}{}{} mit dem Mittelpunkt in
\mathl{(0,R)}{} und dem Radius
\mathl{0 <r <R}{.} Berechne das Volumen des \definitionsverweis {Rotationskörpers}{}{,} der entsteht, wenn sich $K$ um die $x$-Achse dreht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $V$ der \definitionsverweis {Viertelkreis}{}{} mit dem Mittelpunkt in
\mathl{(1,0)}{,} dem Radius
\mathl{1}{} und den Eckpunkten \mathkor {} {(0,0)} {und} {(1,1)} {.} Berechne das Volumen des \anfuehrung{runden Trichters}{,} der entsteht, wenn man $V$ um die $y$-Achse dreht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $D$ das \definitionsverweis {Dreieck}{}{} mit den Eckpunkten
\mathl{(3,4),\, (5,5)}{} und
\mathl{(4,6)}{.} Bestimme das Volumen des \definitionsverweis {Rotationskörpers}{}{,} der entsteht, wenn man $D$ um die $x$-Achse dreht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne das Volumen des \definitionsverweis {Kegels}{}{,} dessen Spitze in
\mathl{(2,3,5)}{} liegt und dessen Grundfläche die durch
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 3x^2+2y^2 \leq 4 \right\} }} { }
gegebene Ellipse ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu }
{ = }{ \varphi_*\lambda^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{} unter der Multiplikation \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy } {.} Zeige, dass für jede \definitionsverweis {Borelmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu (T) }
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ falls } \lambda^1(T) = 0 \, , \\ \infty, \text{ falls } \lambda^1(T) > 0 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}