Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 81/latex

\setcounter{section}{81}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen zwei \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {} derart, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T(\varphi)} {TM} {TN } {} nicht surjektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {injektiven}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen zwei \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {} derart, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T(\varphi)} {TM} {TN } {} nicht injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ (x,y,z,t) \in \R^4 \mid x+x^2y+z^2+t^3 = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^4$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\3\\ 2 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 5 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.

}
{} {}

Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt \stichwort {Dualbasis} {.}


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} mit \definitionsverweis {Basis}{}{} $\mathfrak{ v }= v_1 , \ldots , v_n$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * } }
{ \defeq} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Dualraum}{}{} zu $V$. Zeige, dass auf ${ V }^{ * }$ die \definitionsverweis {Koordinatenfunktionen}{}{} $v^*_1 , \ldots , v^*_n$, die durch
\mathdisp {v_j^* (v_k) = \begin{cases} 1, \text{ falls } j=k , \\ 0 \text{ sonst} , \end{cases}} { }
definiert sind, eine Basis von ${ V }^{ * }$ bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_k }
{ \in }{ V^* }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {V \times \cdots \times V } { K } {(v_1 , \ldots , v_k)} { \det (f_i (v_j))_{1 \leq i ,j \leq k} } {,} \definitionsverweis {multilinear}{}{} und \definitionsverweis {alternierend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^3 } {} die durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}} { }
gegebene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Bestimme die Matrix zu
\mathl{\bigwedge^2 \varphi}{} bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\5\\ -4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 7 \\-2\\ 4 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathdisp {-2 \begin{pmatrix} 3 \\6\\ -2\\5 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 4\\0 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\3\\ -4\\-2 \end{pmatrix} +4 \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3\\4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ -2\\3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 7 \\6\\ 5\\-4 \end{pmatrix}} { }
in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^3 \R^4}{} aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten das zweite \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\bigwedge^2 \R^n}{} mit der Standardbasis
\mathbed {e_i \wedge e_j} {}
{i < j} {}
{} {} {} {,} und der zugehörigen \definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
\mathl{\varphi_{ij} =e_{ij}^*}{.} Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {\varphi} {\bigwedge^2 \R^n} { \R } {x} { \varphi(x) = \sqrt{ \sum_{i <j} (\varphi_{ij}(x))^2 } } {,} die Eigenschaft besitzt, dass
\mathl{\varphi(v \wedge w)}{} mit dem \definitionsverweis {Flächeninhalt}{}{} des von \mathkor {} {v} {und} {w} {} im $\R^n$ \definitionsverweis {aufgespannten Parallelogramms}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} die durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & -2 & 5 \\ 6 & 8 & -3 \\1 & 4 & -1 \end{pmatrix}} { }
gegebene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Bestimme die Matrix zu
\mathl{\bigwedge^2 \varphi}{} bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine eindeutig bestimmte \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { \bigwedge^k V } { \bigwedge^{k+n} V } {} mit
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \mapsto v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \wedge u_1 \wedge \ldots \wedge u_n}{} gibt.

}
{} {}