Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 82/latex
\setcounter{section}{82}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {DBP_1962_385_Wohlfahrt_Schneewittchen.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen.jpg } {Börnsen} {NobbiP} {Commons} {gemeinfrei} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass auf der Menge der
\zusatzklammer {geordneten} {} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
die
\definitionsverweis {Orientierungsgleichheit}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist, die bei
\mathl{V \neq 0}{} aus genau zwei
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V \neq 0$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einer
\definitionsverweis {
Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Zeige, dass wenn man einen Vektor $v_i$ durch sein Negatives $-v_i$ ersetzt, dass dann die neue Basis die
\definitionsverweis {
entgegengesetzte Orientierung}{}{} repräsentiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V$ und $W$ zwei
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {orientierte}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {orientierungstreu}{}{}
ist, wenn es eine die
\definitionsverweis {Orientierung}{}{} auf $V$ repräsentierende
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gibt, deren Bildvektoren
\mathl{\varphi(v_1) , \ldots , \varphi(v_n)}{} die Orientierung auf $W$ repräsentieren.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob die beiden
\definitionsverweis {Basen}{}{}
des $\R^2$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\7 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
repräsentieren oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} der nur aus \definitionsverweis {endlich vielen}{}{} Elementen bestehe. Zeige, dass $X$ \definitionsverweis {kompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y_1 , \ldots , Y_n
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{.}
Zeige, dass auch die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ \bigcup_{i = 1}^n Y_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter Raum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{,}
die die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
trage. Zeige, dass $Y$ ebenfalls kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} $\R$ nicht \definitionsverweis {überdeckungskompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die \definitionsverweis {natürlichen Zahlen}{}{} $\N$ und versehen sie mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{.} Zeige, dass $\N$ \definitionsverweis { abgeschlossen}{}{} und \definitionsverweis {beschränkt}{}{,} aber nicht \definitionsverweis { überdeckungskompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {kompakter}{}{} \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass $X$ \definitionsverweis { vollständig}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {v_1= \begin{pmatrix} 9 \\8\\ 1 \end{pmatrix} ,\, v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\7\\ -3 \end{pmatrix} ,\, v_3= \begin{pmatrix} 2 \\5\\ -2 \end{pmatrix}} { }
von $\R^3$ und die dadurch induzierte Basis
\mathdisp {\mathfrak{ v } = v_1 \wedge v_2,\, v_1 \wedge v_3 , \, v_2 \wedge v_3} { }
von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{.} Bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
\zusatzklammer {in beide Richtungen} {} {}
zwischen der Basis $\mathfrak{ v }$ und der Standardbasis
\mathl{e_1 \wedge e_2,\, e_1 \wedge e_3 , \, e_2 \wedge e_3}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme, ob die beiden Basen des $\R^3$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4\\ -5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\6\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ -3 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -4 \\4\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\0\\ 13 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
repräsentieren oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es auf $V$, aufgefasst als \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{,} eine natürliche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die $1$-Sphäre $S^1$ eine \definitionsverweis {orientierbare}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
trage. Es sei $Y$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Zeige, dass $Y$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Es sei $X$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(X)
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls kompakt ist.
}
{} {}
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