Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 82/latex

\setcounter{section}{82}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {DBP_1962_385_Wohlfahrt_Schneewittchen.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen.jpg } {Börnsen} {NobbiP} {Commons} {gemeinfrei} {}

\inputaufgabe
{}
{

Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Zeige, dass auf der Menge der \zusatzklammer {geordneten} {} {} \definitionsverweis {Basen}{}{} die \definitionsverweis {Orientierungsgleichheit}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist, die bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus genau zwei \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Zeige, dass wenn man einen Vektor $v_i$ durch sein Negatives $-v_i$ ersetzt, dass dann die neue Basis die \definitionsverweis {entgegengesetzte Orientierung}{}{} repräsentiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V$ und $W$ zwei \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist, wenn es eine die \definitionsverweis {Orientierung}{}{} auf $V$ repräsentierende \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gibt, deren Bildvektoren
\mathl{\varphi(v_1) , \ldots , \varphi(v_n)}{} die Orientierung auf $W$ repräsentieren.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob die beiden \definitionsverweis {Basen}{}{} des $\R^2$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\7 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} repräsentieren oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} der nur aus \definitionsverweis {endlich vielen}{}{} Elementen bestehe. Zeige, dass $X$ \definitionsverweis {kompakt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y_1 , \ldots , Y_n }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ \bigcup_{i = 1}^n Y_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kompakt ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {kompakter Raum}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{,} die die \definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{} trage. Zeige, dass $Y$ ebenfalls kompakt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} $\R$ nicht \definitionsverweis {überdeckungskompakt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {natürlichen Zahlen}{}{} $\N$ und versehen sie mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{.} Zeige, dass $\N$ \definitionsverweis { abgeschlossen}{}{} und \definitionsverweis {beschränkt}{}{,} aber nicht \definitionsverweis { überdeckungskompakt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {kompakter}{}{} \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass $X$ \definitionsverweis { vollständig}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {v_1= \begin{pmatrix} 9 \\8\\ 1 \end{pmatrix} ,\, v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\7\\ -3 \end{pmatrix} ,\, v_3= \begin{pmatrix} 2 \\5\\ -2 \end{pmatrix}} { }
von $\R^3$ und die dadurch induzierte Basis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v } }
{ =} { v_1 \wedge v_2,\, v_1 \wedge v_3 , \, v_2 \wedge v_3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \zusatzklammer {in beide Richtungen} {} {} zwischen der Basis $\mathfrak{ v }$ und der Standardbasis
\mathl{e_1 \wedge e_2,\, e_1 \wedge e_3 , \, e_2 \wedge e_3}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme, ob die beiden Basen des $\R^3$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4\\ -5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\6\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ -3 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -4 \\4\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\0\\ 13 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} repräsentieren oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es auf $V$, aufgefasst als \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{,} eine natürliche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die $1$-Sphäre $S^1$ eine \definitionsverweis {orientierbare}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, die die \definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{} trage. Es sei $Y$ \definitionsverweis {kompakt}{}{.} Zeige, dass $Y$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $X$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Es sei $X$ \definitionsverweis {kompakt}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(X) }
{ \subseteq }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ebenfalls kompakt ist.

}
{} {}