Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 84/latex

\setcounter{section}{84}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Überdeckung aus \definitionsverweis {offenen Mengen}{}{,} wobei $I$ \definitionsverweis {abzählbar}{}{} sei. Zeige folgende Aussagen.

a) Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist genau dann eine \definitionsverweis {Borelmenge}{}{,} wenn
\mathl{T \cap U_i}{} eine Borelmenge ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

b) Ein $\sigma$-\definitionsverweis {endliches}{}{} \definitionsverweis {Maß}{}{} $\mu$ ist durch die Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_i }
{ = }{ \mu {{|}}_{U_i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eindeutig bestimmt.

c) Es sei für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\sigma$-endliches Maß $\mu_i$ auf $U_i$ gegeben. Für jedes Paar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_i {{|}}_{U_i \cap U_j} }
{ =} {\mu_j {{|}}_{U_i \cap U_j} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes $\sigma$-endliches Maß auf $X$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu {{|}}_{U_i} }
{ = }{ \mu_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das zu einer \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {positiven Volumenform}{}{} auf einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} in Definition 84.3 eingeführte Volumenmaß ein $\sigma$-\definitionsverweis {endliches Maß}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} {dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n }
{ =} { e_1^* \wedge \ldots \wedge e_n^* }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Standard-Volumenform auf dem $\R^n$. Zeige, dass für jede \definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
\mathl{T \subseteq \R^n}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ T } \omega }
{ =} { \int_{ T } \, d \lambda^n }
{ =} { \lambda^n(T) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit einer \definitionsverweis {positiven Volumenform}{}{} $\omega$. Es sei
\mathl{T \subseteq M}{} \definitionsverweis {messbar}{}{} und
\mathl{N \subseteq M}{} eine \definitionsverweis {Nullmenge}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ T } \omega }
{ =} { \int_{ T \setminus N } \omega }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit einer \definitionsverweis {abzählbaren Basis der Topologie}{}{} und es seien \mathkor {} {\omega_1} {und} {\omega_2} {} \definitionsverweis {positive Volumenformen}{}{} auf $M$. Zeige, dass für jede \definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
\mathl{T \subseteq M}{} und
\mathl{a,b \in \R_+}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ T } (a \omega_1 + b \omega_2) }
{ =} {a \int_{ T } \omega_1+ b \int_{ T } \omega_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{.} Zeige, wie man unter Bezug auf Karten \anfuehrung{Nullmengen}{} von $M$ erklären kann, ohne dass ein \definitionsverweis {Maß}{}{} gegeben ist. Zeige ferner, dass wenn eine \definitionsverweis {positive Volumenform}{}{} gegeben ist, diese Nullmengen auch \definitionsverweis {Nullmengen}{}{} im Sinne der Maßtheorie sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ \in }{ { \mathcal E }^{ 1 } ( M ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine messbare Differentialform mit der \definitionsverweis {zurückgezogenen Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^*\omega }
{ \in }{ { \mathcal E }^{ 1 } ( L ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei \maabbdisp {\gamma} {I} {L } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} \zusatzklammer {$I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}} {} {.} Zeige, dass für die \definitionsverweis {Wegintegrale}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \varphi^* \omega }
{ =} { \int_{\varphi \circ \gamma} \omega }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {f(t) } {,} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\omega }
{ = }{ g(s)ds }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $\R$. Bestimme
\mathl{f^* \omega}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^2 } {t} {( \cos t , \sin t ) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zu den folgenden \definitionsverweis {Differentialformen}{}{}

a)
\mathl{xdx +ydy}{,}

b)
\mathl{xdx -ydy}{,}

c)
\mathl{ydx +xdy}{,}

d)
\mathl{ydx -xdy}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Antipodenabbildung}{}{} \maabbeledisp {} {S^2} {S^2 } {(x,y,z)} {(-x,-y,-z) } {,} nicht \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $M$ eine $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{.} Es sei $\omega$ eine \definitionsverweis {positive Volumenform}{}{} auf $M$ und es sei $\mu$ das durch diese Volumenform definierte \definitionsverweis {Maß}{}{} auf $M$. Zeige, dass dann jede \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} der Dimension
\mathl{\leq n-1}{} eine \definitionsverweis {Nullmenge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c,d,r,s }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} \maabbeledisp {} {[0,1]} {\R^2 } {t} {(t^r,t^s) } {.} Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zur \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ x^ay^b dx +x^c y^d dy }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei \maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^3 } {t} {( \cos t , \sin t, t ) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zur \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ (y-z^3) dx +x^2dy -xzdz }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Begründe die einzelnen Gleichungen in der zweiten Gleichungskette im Beweis zu Lemma 84.2.

Gehe dabei folgendermaßen vor. \aufzaehlungvier{Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile

[[/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).

}{Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

 {{:Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

ein. }{Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Gleichung ein. }{Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite (die Sie von der Kursseite auf Wikiversity aus erreichen können) einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

[[Ihr Benutzername/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

hinschreiben.

}

}
{} {}