Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Vorlesung 84

Wir kommen nun zur Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten. Ausgangspunkt dafür ist, dass auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ eine ${}n$-Form gegeben ist. Bei einer offenen Teilmenge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit den Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ entspricht dabei die Integration bezüglich der Form ${}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ der Integration bezüglich des Lebesgue-Maßes. Bei einer Mannigfaltigkeit muss man die Form und das zugehörige Maß „zusammenkleben“.

Positive Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit

In der folgenden Definition bezeichnen wir zu einer Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ und einer Differentialform ${}\omega$ auf ${}U$ die nach ${}V$ transportierte Differentialform mit ${}\alpha _{*}\omega$. Das ist dasselbe wie die zurückgezogene Form ${}\alpha ^{-1*}\omega$.

Definition

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine messbare ${}n$- Differentialform auf ${}M$. Dann heißt ${}\omega$ eine positive Volumenform, wenn für jede Karte (eines gegebenen Atlases)

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

(mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform

${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

die Funktion ${}f$ überall positiv ist.

Eine solche positive Volumenform kann es nur geben, wenn die Mannigfaltigkeit orientierbar ist (siehe Lemma 84.5 weiter unten).

Lemma

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Zu einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}\alpha _{*}(\omega {|}_{U})=fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq U$ setzen wir

${}\nu (\alpha ,T):=\int _{\alpha (T)}f\,d\lambda ^{n}\,$

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Wenn ${}T\subseteq U_{1},U_{2}$ zwei Kartenumgebungen sind, so ist ${}\nu (\alpha _{1},T)=\nu (\alpha _{2},T)$.
2. Zu einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq M$ gibt es eine abzählbare disjunkte Vereinigung ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ derart, dass jedes ${}T_{i}$ ganz in einer Karte ${}U_{i}$ liegt.
3. Die Summe ${}\sum _{i\in I}\nu (\alpha _{i},T_{i})$ ist unabhängig von der gewählten abzählbaren disjunkten Zerlegung in (2).

Beweis

(1). Wegen ${}T\subseteq U_{1}\cap U_{2}$ können wir ${}U=U_{1}=U_{2}$ annehmen (aber mit unterschiedlichen Kartenabbildungen ${}\alpha _{1}$ und ${}\alpha _{2}$ nach ${}V_{1}$ bzw. ${}V_{2}$). Es sei

$\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

der diffeomorphe Kartenwechsel. Dann gelten nach Satz 75.3 und nach Korollar 83.9, und da wegen der Positivität von ${}f_{1}=(f_{2}\circ \psi )\det {\left(D\psi \right)}$ und von ${}f_{2}$ auch die Determinante positiv ist, die Gleichheiten

${}{\begin{aligned}\nu (\alpha _{2},T)&=\int _{\alpha _{2}(T)}f_{2}\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{\alpha _{1}(T)}(f_{2}\circ \psi ){|}\det {\left(D\psi \right)}{|}\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{\alpha _{1}(T)}(f_{2}\circ \psi )\cdot \det {\left(D\psi \right)}\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{\alpha _{1}(T)}f_{1}\,d\lambda ^{n}\\&=\nu (\alpha _{1},T).\end{aligned}}$

(2). Es sei ${}U_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine abzählbarer Atlas. Dann kann man die Mengen ${}T_{n}=T\cap (U_{n}\setminus \bigcup _{m<n}U_{m})$ nehmen.
(3). Es seien ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}=\biguplus _{j\in J}S_{j}$ zwei abzählbare disjunkte messbare Zerlegungen, deren Glieder jeweils in Karten enthalten seien. Die Karten seien einerseits ${}(U_{i},\alpha _{i})$ mit den die Form beschreibenden Funktionen ${}f_{i}$ und andererseits ${}(V_{j},\beta _{j})$ mit den die Form beschreibenden Funktionen ${}g_{j}$. Wir betrachten die ebenfalls abzählbare Zerlegung, die durch die Mengen ${}T_{i}\cap S_{j}$, ${}(i,j)\in I\times J$, gegeben ist. Nach Lemma 71.1 (angewendet auf die einzelnen Kartenbilder) gilt dann unter Verwendung von Teil (1)

${}{\begin{aligned}\sum _{i\in I}{\left(\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\right)}&=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{j\in J}\int _{\alpha _{i}(T_{i}\cap S_{j})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{j\in J}\int _{\beta _{j}(T_{i}\cap S_{j})}g_{j}\,d\lambda ^{n}\right)}\\&=\sum _{j\in J}{\left(\sum _{i\in I}\int _{\beta _{j}(T_{i}\cap S_{j})}g_{j}\,d\lambda ^{n}\right)}\\&=\sum _{j\in J}{\left(\int _{\beta _{j}(S_{j})}g_{j}\,d\lambda ^{n}\right)}.\end{aligned}}$

$\Box$

Definition

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Dann heißt die für jede Borelmenge ${}T\subseteq M$ durch eine abzählbare Zerlegung ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ (wobei ${}T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und ${}\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist) definierte Zahl

${}\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$

(aus ${}{\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$) das Maß von ${}T$ zu ${}\omega$ oder das Integral von ${}\omega$ über ${}T$.

Nach dem vorstehenden Lemma ist dieses Volumenmaß wohldefiniert. Nach Aufgabe 84.2 handelt es sich um ein ${}\sigma$- endliches Maß.

Lemma

Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es seien ${}\omega _{1}$ und ${}\omega _{2}$ positive Volumenformen auf ${}M$.

Dann gilt für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ und ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ die Beziehung

${}\int _{T}(a\omega _{1}+b\omega _{2})=a\int _{T}\omega _{1}+b\int _{T}\omega _{2}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 84.5.

$\Box$

Volumenformen und Orientierung

Die Existenz einer stetigen nullstellenfreien Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit hängt eng mit ihrer Orientierbarkeit zusammen. Von der folgenden Aussage werden wir in Satz 89.10 auch die Umkehrung beweisen.

Lemma

Es sei ${}M$ eine ${}m$- dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf ${}M$.

Dann gibt es einen (diffeomorph-äquivalenten) orientierten Atlas für ${}M$ derart, dass ${}\omega$ eine positive Volumenform bezüglich dieses Atlases wird.

Insbesondere ist ${}M$ orientierbar.

Beweis

Zu ${}P\in M$ betrachtet man Kartengebiete ${}P\in U$ mit der Eigenschaft, dass ${}U$ homöomorph zu einem offenen Ball ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ ist. Es ist

${}\bigwedge ^{m}TU\cong \bigwedge ^{m}TV\cong V\times \bigwedge ^{m}\mathbb {R} ^{m}\cong V\times \mathbb {R} \,$

mittels ${}\bigwedge ^{m}T(\alpha )$. Dabei ist die hintere Isomorphie durch die Standardbasis mit den Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ gegeben. Es sei ${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{m}$ die zugehörige ${}1$-Differentialform auf ${}V$. Diese Form ist nullstellenfrei, und da ${}V$ zusammenhängend ist, ist ${}f$ nach dem Zwischenwertsatz positiv oder negativ. Im negativen Fall ersetzen wir die Karte, indem wir ein Basiselement durch sein Negatives ersetzen. Dadurch gewinnen wir für jeden Punkt eine Kartenumgebung, auf der die Form positiv ist. Zu zwei Karten ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ und ${}\beta \colon U\rightarrow V'$ mit der Übergangsabbildung ${}\psi =\beta \circ \alpha ^{-1}$ und den lokalen Beschreibungen ${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{m}$ und ${}\beta _{*}\omega =gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{m}$ gilt dann wegen ${}\psi ^{*}(\beta _{*}\omega )=\alpha _{*}\omega$ nach Korollar 83.9 die Beziehung ${}f=g\circ \psi \det {\left(D\psi \right)}$. Da ${}f$ und ${}g$ positiv sind, muss auch die Determinante positiv sein, sodass die Übergangsabbildung orientierungstreu und die Mannigfaltigkeit somit orientiert ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{\ell }$

(mit ${}m=n-\ell \geq 0$) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser ${}M$ über ${}0\in \mathbb {R} ^{\ell }$ regulär sei.

Dann ist die Abbildung

$\bigwedge ^{m}T_{P}M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}\longmapsto \det(\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P),v_{1},\ldots ,v_{m}),$

in jedem Punkt ${}P\in M$ eine Isomorphie, wodurch eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf ${}M$ gegeben ist.

Beweis

Bei dieser Abbildung werden die Vektoren ${}v_{i}\in T_{P}M\subseteq T_{P}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}$ und die Gradienten als Vektoren in ${}\mathbb {R} ^{n}$ aufgefasst. Nach Aufgabe 81.12 und nach Korollar 80.7 ist die Abbildung wohldefiniert und linear. Der Ausgangsraum der Abbildung ist wie der Zielraum eindimensional. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von

${}T_{P}M=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}=(\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P))^{\perp }\,.$

Da die Abbildung regulär ist, sind die Gradienten untereinander linear unabhängig, und wegen der Orthogonalitätsbeziehung erst recht linear unabhängig zu den ${}v_{i}$. Daher liegt insgesamt eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{n}$ vor, sodass nach Satz 14.13 die Determinante ${}\neq 0$ ist. Die Abhängigkeit dieser Volumenform vom Basispunkt ${}P$ ist stetig, wie aus der Stetigkeit der Gradienten, der Stetigkeit der Determinante und dem Satz über implizite Abbildungen folgt.

$\Box$

Bemerkung  

In der Situation von Korollar 84.6 erhält man nicht nur eine nullstellenfreie Volumenform, sondern auch eine Orientierung auf jedem Tangentialraum und überhaupt eine orientierte Mannigfaltigkeit. Man definiert die Orientierung auf ${}T_{P}M$ dadurch, dass man festlegt, dass eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ die Orientierung repräsentiert, wenn die erweiterte Basis ${}\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P),v_{1},\ldots ,v_{m}$ die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{n}$ repräsentiert. Diese Festlegung hängt von ${}\varphi$ ab. Wenn man beispielsweise ${}\varphi$ durch ${}-\varphi$ ersetzt, so ändert sich bei ungeradem ${}\ell$ die Orientierung.

Beispiel

Wir betrachten die ${}2$- Sphäre ${}S^{2}$ als Faser über ${}0$ zur differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}-1.$

Wir können darauf Korollar 84.6 anwenden und erhalten durch

$\bigwedge ^{2}T_{P}S^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v_{1}\wedge v_{2}\longmapsto \det(\operatorname {Grad} \,\varphi (P),v_{1},v_{2}),$

(wobei die Tangentenvektoren ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ wegen ${}T_{P}S^{2}\subseteq T_{P}\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}$ direkt im ${}\mathbb {R} ^{3}$ aufgefasst werden können.), eine stetige nullstellenfreie Flächenform ${}\omega$. Dies führt zu einer positiven Flächenform und zu einer Orientierung auf ${}S^{2}$. Zwei linear unabhängige Tangentialvektoren ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ repräsentieren die Orientierung, wenn ${}\omega (v_{1},v_{2})>0$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Vektoren ${}\operatorname {Grad} \,\varphi (P),\,v_{1},\,v_{2}$ die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{3}$ repräsentieren.

Integration längs einer differenzierbaren Abbildung

Auf einer ${}n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${}M$ sind nur ${}n$-Formen über ${}M$ sinnvoll integrierbar. Man möchte aber auch ${}k$-Formen ($1\leq k\leq n$) über gewisse ${}k$-dimensionale Unterobjekte integrieren können. Das passende Konzept ist dabei die Integration längs einer differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

einer ${}k$-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${}L$. Dabei integriert man über ${}L$ einfach die mit ${}\varphi$

zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu einer Form ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$. Auf ${}L$ passen dabei die Dimension und der Grad der Form zusammen. Ein wichtiger Spezialfall ist dabei der von ${}1$-Formen und differenzierbaren Kurven

$\gamma \colon I\longrightarrow M,$

die dabei entstehenden Integrale nennt man Wegintegrale.

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ eine ${}1$- Differentialform. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

${}\int _{\gamma }\omega :=\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$

das Wegintegral von ${}\omega$ längs ${}\gamma$.

Bemerkung  

Im physikalischen Kontext beschreibt eine reellwertige ${}1$- Differentialform (bzw. ihre duale Version, ein Vektorfeld) eine Kraft; das Wegintegral ist dann der Arbeitsaufwand oder die Energie, die gebraucht oder freigesetzt wird, wenn sich ein Teilchen auf dem Weg bewegt.

Häufig werden wir Differentialformen auf einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit ${}M\subseteq G$, ${}G$ offen in ${}\mathbb {R} ^{n}$, betrachten, die sogar auf ${}G$ definiert sind und daher die Gestalt ${}\omega =\sum _{i=1}^{n}g_{i}dx_{i}$ besitzen, wobei die ${}x_{i}$ die Koordinaten des ${}\mathbb {R} ^{n}$ und die ${}g_{i}$ auf ${}G$ definierte Funktionen sind. Für einen Weg in ${}M$ ist es nach Aufgabe 84.7 gleichgültig, ob man das Wegintegral mit Bezug auf ${}G$ und ${}\omega$ oder mit Bezug auf ${}M$ und die eingeschränkte Differentialform ${}\omega {|}_{M}$ betrachtet.

Bemerkung  

Ein Wegintegral wird folgendermaßen berechnet. Es sei ${}\omega$ eine ${}1$-Form auf ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, die durch

${}\omega =g_{1}dx_{1}+\cdots +g_{n}dx_{n}\,$

beschrieben werde, wobei die ${}g_{j}\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ messbare Funktionen sind. Es sei eine stetig differenzierbare Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow G$ gegeben mit den (stetig differenzierbaren) Komponentenfunktionen ${}\gamma _{j}$. Die Ableitung in einem Punkt ${}t\in [a,b]$ wird dann nach Lemma 40.4 durch den Vektor ${}\left(\gamma _{1}'(t),\,\ldots ,\,\gamma _{n}'(t)\right)$ beschrieben. Die zurückgezogene Differentialform ${}\gamma ^{*}\omega$ hat dann im Punkt ${}t$ in Richtung ${}1$ den Wert

${}{\begin{aligned}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))&={\left(g_{1}(\gamma (t))dx_{1}+\cdots +g_{n}(\gamma (t))dx_{n}\right)}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=g_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t).\end{aligned}}$

Im mittleren Ausdruck wird eine Linearform auf einen Vektor angewendet. In ${}g_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ wird also ${}x_{i}$ durch ${}\gamma _{i}(t)$ und ${}dx_{i}$ durch ${}\gamma _{i}'(t)dt$ ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare ${}1$-Form auf ${}[a,b]$ bzw. eine messbare Funktion von ${}[a,b]$ nach ${}\mathbb {R}$, die man integrieren kann.

Beispiel

Wir betrachten die Differentialform

${}\omega ={\left(xy+z^{2}\right)}dx+zdy+x^{3}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ und den affin-linearen Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (1,2,0)+t(3,0,2)=(1+3t,2,2t).$

Die unter ${}\gamma$ zurückgenommene Differentialform ${}\gamma ^{*}\omega$ ist

${}{\begin{aligned}{\left({\left((1+3t)2+(2t)^{2}\right)}dx+2tdy+(1+3t)^{3}dz\right)}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}&={\left(3((1+3t)2+(2t)^{2})+2(1+3t)^{3}\right)}dt\\&={\left(12t^{2}+18t+6+54t^{3}+54t^{2}+18t+2\right)}dt\\&={\left(54t^{3}+66t^{2}+36t+8\right)}dt.\end{aligned}}$

Für das Integral über dem Einheitsintervall ergibt sich

$\int _{0}^{1}54t^{3}+66t^{2}+36t+8\,dt={\left({\frac {27}{2}}t^{4}+22t^{3}+18t^{2}+8t\right)}|_{0}^{1}={\frac {123}{2}}\,.$

Fußnoten

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