Wegintegral/Berechnung für 1-Form im R^n/Werte in R/Bemerkung

Ein Wegintegral wird folgendermaßen berechnet. Es sei ${}\omega$ eine ${}1$-Form auf ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, die durch

${}\omega =g_{1}dx_{1}+\cdots +g_{n}dx_{n}\,$

beschrieben werde, wobei die ${}g_{j}\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ messbare Funktionen sind. Es sei eine stetig differenzierbare Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow G$ gegeben mit den (stetig differenzierbaren) Komponentenfunktionen ${}\gamma _{j}$. Die Ableitung in einem Punkt ${}t\in [a,b]$ wird dann nach Fakt durch den Vektor ${}\left(\gamma _{1}'(t),\,\ldots ,\,\gamma _{n}'(t)\right)$ beschrieben. Die zurückgezogene Differentialform ${}\gamma ^{*}\omega$ hat dann im Punkt ${}t$ in Richtung ${}1$ den Wert

${}{\begin{aligned}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))&={\left(g_{1}(\gamma (t))dx_{1}+\cdots +g_{n}(\gamma (t))dx_{n}\right)}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=g_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t).\end{aligned}}$

Im mittleren Ausdruck wird eine Linearform auf einen Vektor angewendet. In ${}g_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ wird also ${}x_{i}$ durch ${}\gamma _{i}(t)$ und ${}dx_{i}$ durch ${}\gamma _{i}'(t)dt$ ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare ${}1$-Form auf ${}[a,b]$ bzw. eine messbare Funktion von ${}[a,b]$ nach ${}\mathbb {R}$, die man integrieren kann.