Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/20/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	2	4	1	2	4	4	6	7	7	4	1	3	6	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}?$ w w f w f f f w w f f w

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Mustafa Müller schreibt die natürlichen Zahlen

$0,1,2,3,\ldots ,998,999,1000$

hintereinander auf. Wie oft kommt dabei die Ziffern ${}0,1,2,\ldots ,9$ vor? Wie viele Kommata setzt er?

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

${}2x\geq 7\,$

und

${}5x\leq 12\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls injektiv ist.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {3}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}=1$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {\frac {1}{3}}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}=1$.

1. Berechne ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$.
2. Berechne ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$.
3. Berechne ${}x_{0}\cdot y_{0},\,x_{1}\cdot y_{1}$ und ${}x_{2}\cdot y_{2}$.
4. Konvergiert die Produktfolge ${}z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}$ innerhalb der rationalen Zahlen?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige die Abschätzung

${}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {i}}}\leq 3{\sqrt {n}}\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto f(z),$

ein Polynom vom Grad ${}d\geq 2$, ${}w\in \mathbb {R}$ ein Punkt und ${}t(z)$ die Tangente an ${}f$ im Punkt ${}w$. Zeige die Beziehung

${}f(z)-t(z)=(z-w)^{2}g(z)\,$

mit einem Polynom ${}g(z)$ vom Grad ${}d-2$.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.

Aufgabe * (7 (1+1+5) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in keinem Punkt schneidet.
2. Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in genau einem Punkt schneidet.
3. Zeige, dass jede Gerade den Graphen der Exponentialfunktion in höchstens zwei Punkten schneidet.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Überführe die Matrixgleichung

   ${}{\begin{pmatrix}3&7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn es einen Untervektorraum ${}U\subseteq V$ gibt, für den die Familie eine Basis bildet.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\,$

eine invertierbare Matrix. Zeige durch zwei Matrizenmultiplikationen, dass

${}M^{-1}={\frac {1}{\det M}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}\,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&4&-5\\0&-1&4\\0&0&7\end{pmatrix}}\,$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$