Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/22/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	3	4	4	4	5	3	4	5	3	3	4	2	3	3	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${}n^{2}-1$ eine Primzahl?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei ${}2000$ kcal und ${}100$ Gramm Heidelbeeren enthalten ${}42$ kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt ${}1,5$ Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion, dass für ${}n\geq 10$ die Abschätzung

${}3^{n}\geq n^{4}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom ${}f$ von minimalem Grad mit

$f(0)=0,\,f(1)=1,\,f(2)=3,\,f(3)=6.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

nur im Nullpunkt stetig ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ${}42$ ist?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto f(z),$

eine Funktion, die die Funktionalgleichung

${}f(z+w)=f(z)\cdot f(w)\,$

für alle ${}z,w\in \mathbb {R}$ erfülle und die in ${}0$ differenzierbar sei. Zeige, dass dann ${}f$ in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung ${}f'(z)=\lambda f(z)$ mit einem festen ${}\lambda \in \mathbb {R}$ gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}2$ zur rationalen Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x}{x^{2}+1}},$

im Entwicklungspunkt ${}1$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel ${}{\sqrt {x}}$ für ${}x\in [1,4]$. Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von ${}1$ und ${}4$ und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von ${}1$ und der Wurzel von ${}4$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}4x+7y=3\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}\,$

ein von ${}0$ verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen mit ${}n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau

${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.