Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/30/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	2	4	5	4	5	6	3	2	4	7	3	1	2	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Eine beschränkte Teilmenge von reellen Zahlen.
3. Eine fallende reelle Folge.
4. Die eulersche Zahl ${}e$.
5. Der Spaltenrang einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
6. Der Eigenraum zu ${}\lambda \in K$ und einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Zwischenwertsatz.
2. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
3. Der Satz über die Transformation eines linearen Gleichungssystems in Dreiecksgestalt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\cap C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}21,7$ Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}8,6$ Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?

Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto {\begin{cases}-{\frac {n}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ gerade}}\,,\\{\frac {n+1}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}$

Ist ${}f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}x\geq 2$ und ${}s>1$ reelle Zahlen. Zeige

${}1+x^{-s}<{\frac {1}{1-x^{-s}}}\leq 1+2x^{-s}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=3$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

derart an, dass ${}b_{n}-a_{n}$ eine Nullfolge ist, dass ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}I_{n}$ aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Regel von l'Hospital.

Aufgabe * (7 (1+1+3+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{-1}.$

1. Berechne die erste Ableitung von ${}f$.
2. Berechne die zweite Ableitung von ${}f$.
3. Erstelle (und beweise) eine Formel für die ${}n$-te Ableitung von ${}f$ (${}n\geq 1$).
4. Bestimme das Taylorpolynom zu ${}f$ im Punkt ${}1$ vom Grad ${}4$.
5. Bestimme die Taylorreihe zu ${}f$ im Punkt ${}1$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{2}^{5}{\frac {x}{x+1}}\,dx$

Aufgabe * (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

${}0=1\,.$

Welche Folgerung kann man daraus schließen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Gilt für quadratische Matrizen die erste binomische Formel?

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}0&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }&4+7{\mathrm {i} }&3-{\mathrm {i} }\\0&1-5{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ ist, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist.