Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/36/Klausur



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 2 3 4 6 3 4 2 6 4 4 3 3 5 2 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Die komplexe Konjugation.
  3. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  4. Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion .
  5. Der Arkussinus.
  6. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
  2. Die Regel von l'Hospital.
  3. Der Satz über die Multilinearität der Determinante (mit Erläuterung).


Aufgabe (3 Punkte)

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?


Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Wir betrachten die Wertetabelle

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne .
  4. Berechne .


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und seien Elemente aus . Zeige


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine reelle konvergente Folge mit für alle und . Zeige, dass ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

ein reelles Polynom vom Grad . Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

  1. Definiere die Funktion

    deren Graph der obere Halbkreis mit Mittelpunkt und Radius ist.

  2. Bestimme das Taylorpolynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.

  1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

    mit linear unabhängig sind.

  2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

    mit linear unabhängig sind.


Aufgabe * (2 Punkte)

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Aussage: Es sei ein Eigenwert zur oberen Dreiecksmatrix

Dann ist

Beweis: Es sei

ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert . Dies bedeutet die Gleichheit

Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung

Da als Eigenvektor von verschiedenen sein muss, kann man durch dividieren und erhält . “


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix