Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/36/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 | 4 | 6 | 3 | 4 | 2 | 6 | 4 | 4 | 3 | 3 | 5 | 2 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
- Die komplexe Konjugation.
- Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
- Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion .
- Der Arkussinus.
- Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
- Die Regel von l'Hospital.
- Der Satz über die Multilinearität der Determinante (mit Erläuterung).
Aufgabe (3 Punkte)
In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?
Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)
Wir betrachten die Wertetabelle
- Berechne .
- Berechne .
- Berechne .
- Berechne .
Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)
- Finde eine ganzzahlige Lösung
für die Gleichung
- Zeige, dass
eine Lösung für die Gleichung
ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise
Aufgabe * (6 Punkte)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und seien Elemente aus . Zeige
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Zwischenwertsatz.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei
ein reelles Polynom vom Grad . Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.
Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)
- Definiere die Funktion
deren Graph der obere Halbkreis mit Mittelpunkt und Radius ist.
- Bestimme das Taylorpolynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt .
Aufgabe * (3 Punkte)
Berechne das bestimmte Integral
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.
Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)
Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.
- Zeige, dass die Polynomfunktionen
mit linear unabhängig sind.
- Zeige, dass die Exponentialfunktionen
mit linear unabhängig sind.
Aufgabe * (2 Punkte)
Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
„Aussage: Es sei ein Eigenwert zur oberen Dreiecksmatrix
Dann ist
Beweis: Es sei
ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert . Dies bedeutet die Gleichheit
Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung
Da als Eigenvektor von verschiedenen sein muss, kann man durch dividieren und erhält . “
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix