Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/4/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Primzahl} {.}
}{Eine \stichwort {ungerade} {} Funktion \maabb {f} {\R} { \R } {.}
}{Eine reelle \stichwort {Intervallschachtelung} {.}
}{Die \stichwort {Taylor-Reihe} {} im Punkt $a$ zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion $f$.
}{Das
\stichwort {Treppenintegral} {}
zu einer Treppenfunktion
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
auf einem Intervall
\mathl{I=[a,b]}{} zur Unterteilung
\mathl{a=a_0<a_1<a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n=b}{} und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}
}{Ein \stichwort {Eigenvektor} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{}
\mathl{n \geq 2}{} heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von ihr $1$ und $n$ sind.
}{Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
heißt ungerade, wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(-x)
}
{ =} {- f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Eine Folge von abgeschlossenen
\definitionsverweis {Intervallen}{}{}
\mathdisp {I_n =[a_n ,b_n], \, n \in \N} { , }
in $\R$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_{n+1}
}
{ \subseteq }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{n \in \N}{} ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
\mathdisp {{ \left( b_n-a_n \right) }_{ n \in \N }} { , }
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}{Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^{ \infty } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k }} { . }
}{Das Treppenintegral von $t$ ist durch
\mathdisp {T \defeq \sum_{i=1}^n t_i (a_i - a_{i-1})} { }
definiert.
}{Ein Element
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {,}
heißt ein Eigenvektor von $\varphi$,
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ =} { \lambda v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem gewissen
\mathl{\lambda \in K}{} gilt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über das angenommene Maximum} {} einer Funktion \maabbdisp {f} { I } {\R } {} \zusatzklammer {welche Voraussetzungen muss die Funktion $f$ und das Intervall $I$ erfüllen} {} {?}}{Die \stichwort {Kreisgleichung} {} für die trigonometrischen Funktionen.}{Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mathl{I=[a,b] \subseteq \R}{} ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine stetige Funktion. Dann gibt es ein
\mathl{x \in [a,b]}{} mit
\mathdisp {f(x) \geq f(x') \text{ für alle } x' \in [a,b]} { . }
}{Die trigonometrischen Funktionen
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} { \cos x
} {,}
und
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} { \sin x
} {,}
erfüllen für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \cos x) ^2 + (\sin x) ^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{M= ( a _{ i j } )_{ i j }}{} eine
\mathl{n \times n}{-}Matrix über $K$. Zu
\mathl{i,j \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} sei
\mathl{M_{ij}}{} diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte weglässt.
Dann ist
\zusatzklammer {bei
\mathl{n \geq 2}{} für jedes feste $i$ bzw. $j$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } (-1)^{i+j} a_{ij} \det M_{ij}
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } (-1)^{i+j} a_{ij} \det M_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es soll Holz unterschiedlicher Länge
\zusatzklammer {ohne Abfall} {} {}
in Stücke zerlegt werden, die zwischen $30$ und
\mathl{40}{} cm lang sein sollen
\zusatzklammer {jeweils einschließlich} {} {.}
Für welche Holzlängen ist dies möglich?
}
{
Es sei $\ell$ die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für
\mathl{\ell < 30}{} ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{30
}
{ \leq }{ \ell
}
{ \leq }{40
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{40
}
{ < }{ \ell
}
{ < }{60
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{60
}
{ \leq }{ \ell
}
{ \leq }{80
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man das Stück in zwei
\zusatzklammer {beispielsweise gleichgroße} {} {}
Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{80
}
{ < }{ \ell
}
{ < }{90
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\ell
}
{ \geq} {90
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30 s
}
{ \leq} { \ell
}
{ <} { 30 (s+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer natürlichen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn man $\ell$ durch $s$ dividiert, erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30
}
{ \leq} { { \frac{ \ell }{ s } }
}
{ <} { { \frac{ 30 (s+1) }{ s } }
}
{ =} { 30 { \frac{ (s+1) }{ s } }
}
{ \leq} { 30 { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \leq} {40
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
was als Länge eines Teilstücks erlaubt ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (1+1+1+2+1)}
{
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $F(x)$ }
{\mazeileundfuenf {3} {5} {1} {7} {8} }
{\mazeileunddrei {2} {6} {4} }
gegebene Abbildung $F$ von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \{1,2 , \ldots , 8\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in sich selbst.
\aufzaehlungfuenf{Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F^2
}
{ = }{ F \circ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F^3
}
{ = }{ F \circ F \circ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen $F^n$
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
sind.
}{Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^n (x)
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}{Bestimme das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^n (x)
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $F(F(x))$ }
{\mazeileundfuenf {1} {8} {3} {6} {4} }
{\mazeileunddrei {5} {2} {7} }
}{Es ist
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $F(F(F(x)))$ }
{\mazeileundfuenf {3} {4} {1} {2} {7} }
{\mazeileunddrei {8} {5} {6} }
}{Aus der Wertetabelle kann man unmittelbar entnehmen, dass $F$ bijektiv ist. Nach
[[Abbildung/Hintereinanderschaltung/Bijektiv/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Abbildung/Hintereinanderschaltung/Bijektiv/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
sind dann sämtliche Hintereinanderschaltungen der Abbildung mit sich selbst wieder bijektiv.
}{Die Abbildungsvorschrift bewirkt
\mathdisp {1 \mapsto 3 \mapsto 1} { }
und
\mathdisp {2 \mapsto 5 \mapsto 8 \mapsto 4 \mapsto 7 \mapsto 6 \mapsto 2} { . }
Für
\mathl{x=1,3}{} ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 2,5,8,4,7,6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind nach Teil (4) die Zahlen
\mathl{2,5,8,4,7,6}{} wieder an ihrer Stelle, aber auch $1,3$ sind an ihrer Stelle, da $6$ ein Vielfaches von $2$ ist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Finde die komplexen Quadratwurzeln von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { { \frac{ -5 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+b { \mathrm i} )^2
}
{ =} {w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Der Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a+b { \mathrm i} )^2
}
{ =} { a^2-b^2 + 2ab { \mathrm i}
}
{ =} { w
}
{ =} { { \frac{ -5 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt auf die beiden reellen Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2-b^2
}
{ =} { { \frac{ -5 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2ab
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt direkt, dass
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
nicht $0$ sein können. Wir lösen die zweite Gleichung nach $b$ auf und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{3} }{ 4a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2 -b^2
}
{ =} { a^2- \left( \frac{ \sqrt{3} }{ 4a } \right)^2
}
{ =} { a^2 - \left( \frac{ 3 }{ 16a^2 } \right)
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Multiplikation mit $a^2$ und umstellen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^4+ { \frac{ 5 }{ 2 } } a^2 - { \frac{ 3 }{ 16 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist eine biquadratische Gleichung, die zugrunde liegende quadratische Gleichung ist
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{y
}
{ = }{a^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2+ { \frac{ 5 }{ 2 } } y - { \frac{ 3 }{ 16 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Lösungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_1,y_2
}
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 5 }{ 2 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 25 }{ 4 } } + { \frac{ 3 }{ 4 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 5 }{ 2 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 28 }{ 4 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 5 }{ 2 } } \pm \sqrt{ 7 } }{ 2 } }
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 4 } } \pm { \frac{ \sqrt{ 7 } }{ 2 } }
}
}
{}{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_1
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 4 } } + { \frac{ \sqrt{ 7 } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( -5 + 2 \sqrt{7} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
positiv und besitzt die reellen Quadratwurzeln
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1,a_2
}
{ =} { \pm { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit sind die komplexen Quadratwurzeln von $w$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } + { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } } }{ \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_2
}
{ =} {- { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 \sqrt{ - 5 + 2 \sqrt{ 7 } } } }{ \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $\R$. Zeige, dass die Produktfolge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Die konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} ist nach
Lemma 7.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
insbesondere
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
und daher existiert ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \leq }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mathkor {} {x \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} x_n} {und} {y \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} y_n} {.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \defeq }{\max \{D, \betrag { y } \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen
\mathkor {} {N_1} {und} {N_2} {}
mit
\mathdisp {\betrag { x_n -x } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_1 \text{ und } \betrag { y_n -y } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_2} { . }
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ \defeq }{ \max\{N_1,N_2\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese Zahlen gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_ny_n -xy }
}
{ =} { \betrag { x_ny_n-x_ny+x_n y-xy }
}
{ \leq} {\betrag { x_ny_n-x_ny } + \betrag { x_ny-xy }
}
{ =} { \betrag { x_n } \betrag { y_n-y } + \betrag { y } \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {C \frac{ \epsilon}{2C} + C \frac{ \epsilon}{2C}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }
}
{
Für reelles $x$ ist immer
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -1
}
{ \leq} { \sin x
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ \leq} { { \frac{ \sin n }{ n } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Folge ${ \left( \frac{1}{n} \right) }_{ n \in \N_+ }$ gegen $0$ konvergiert und dies auch für die negative Folge ${ \left( -\frac{1}{n} \right) }_{ n \in \N_+ }$ gilt, muss aufgrund des Quetschkriteriums auch die Folge ${ \left( \frac{ \sin n }{n} \right) }_{ n \in \N_+ }$ gegen $0$ konvergieren.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Sei
\mathbed {a \in \R} {}
{\betrag { a } < 1} {}
{} {} {} {.}
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x)
} {,}
eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f( a x)
}
{ = }{ f( x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelte. Zeige, dass $f$ konstant ist.
}
{
Unter der gegebenen Voraussetzung konvergiert die Folge
\mathl{a^n}{} gegen $0$. Daher konvergiert auch für jedes feste
\mathl{x \in \R}{} die Folge $a^n x$ gegen $0$. Durch iterative Anwendung der Voraussetzung an $f$ erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {f(ax)
}
{ =} {f(a^2x)
}
{ =} { \ldots
}
{ =} {f(a^nx)
}
}
{}{}{}
für jedes
\mathl{n \in \N}{.} Aufgrund der Stetigkeit von $f$ ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} f(a^n x)
}
{ =} {f \zusatzklammer {\lim_{n \rightarrow \infty} a^n x} {} {}
}
{ =} { f(0)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mathl{f(0)}{} der einzige Wert der Funktion.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Sinus}{}{-} und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} über ihre Potenzreihen \zusatzklammer {Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))} {} {.}
}
{
Nach
Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sin x \right) }'
}
{ =} { { \left( \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n+1} }{(2n +1 )!} \right) }'
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n (2n+1) { \frac{ x^{2n} }{ (2n+1)! } }
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n { \frac{ x^{2n} }{ (2n)! } }
}
{ =} { \cos x
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \cos x \right) }'
}
{ =} { { \left( \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n} }{(2n)!} \right) }'
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty (-1)^n (2n) { \frac{ x^{2n-1} }{ (2n)! } }
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty (-1)^n { \frac{ x^{2n-1} }{ (2n-1)! } }
}
{ =} { (-1) \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{(n-1)} { \frac{ x^{2n-1} }{ (2n-1)! } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1) \sum_{k = 0}^\infty (-1)^k { \frac{ x^{2k+1} }{ (2k+1)! } }
}
{ =} { - \sin x
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
wobei wir im vorletzten Schritt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{n-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gesetzt haben.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt $\pi/2$.
}
{
Wir müssen das Polynom
\mathdisp {\sum_{k=0}^4 { \frac{ f^{(k)}{ \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }{ k! } } { \left( x- { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }^{k}} { }
berechnen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { \sin { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime} { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { \cos { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { - \sin { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime \prime } { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} {- \cos { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime \prime \prime } { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { \sin { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist das vierte Taylor-Polynom gleich
\mathdisp {1 - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x- { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }^{2} + { \frac{ 1 }{ 24 } } { \left( x- { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }^{4}} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{
a) Unterteile das Intervall
\mathl{[-4,5]}{} in sechs gleichgroße Teilintervalle.
b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf
\mathl{[-4,5]}{,} die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte
\mathl{2}{} und $-1$ annimmt.
}
{
a) Die Länge des Intervalls ist $9$, daher muss die Länge der Teilintervalle gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 9 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ =} { 1{,}5
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Dies ergibt die Teilintervalle
\mathdisp {[-4,{ \frac{ -5 }{ 2 } }], \, [{ \frac{ -5 }{ 2 } }, -1], \, [-1, { \frac{ 1 }{ 2 } }] , \, [{ \frac{ 1 }{ 2 } }, 2], \, [2, { \frac{ 7 }{ 2 } }], \, [{ \frac{ 7 }{ 2 } }, 5]} { . }
b) Die Treppenfunktion, die abwechselnd die Werte $2$ und ${-1}$ besitzt, hat das Treppenintegral
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1{,}5 \cdot (2 -1+2-1+2-1)
}
{ =} { 1{,}5 \cdot 3
}
{ =} { 4{,}5
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall
\mathl{[6,22]}{}
\zusatzklammer {in Stunden} {} {} durch die Funktion
\maabbeledisp {f} {[6,22] } { \R
} {t} {f(t) = -t^3+27t^2-120t
} {,}
beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.
}
{
Es sei
\mathl{a \in [6,21]}{} der Anfangszeitpunkt des Sonnenbades. Die Gesamteinstrahlung der Sonne in der Stunde
\mathl{[a,a+1]}{} ist das bestimmte Integral
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{S(a)
}
{ =} { \int_{ a }^{ a+1 } ( -t^3+27t^2-120t) \, d t
}
{ =} { { \left( - { \frac{ 1 }{ 4 } } t^4+ 9 t^3-60 t^2 \right) } | _{ a } ^{ a+1 }
}
{ =} { { \left( - { \frac{ 1 }{ 4 } } (a+1)^4 + 9 (a+1)^3-60 (a+1)^2 \right) } - { \left( - { \frac{ 1 }{ 4 } } a^4 + 9a^3-60 a^2 \right) }
}
{ =} {- { \frac{ 1 }{ 4 } } (4a^3+ 6a^2+4a+1) +9( 3a^2+3a+1) -60 (2a+1)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-a^3 + { \frac{ 51 }{ 2 } } a^2 -94 a - { \frac{ 205 }{ 4 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Für diese Funktion muss das Maximum im Intervall
\mathl{[6,21]}{} bestimmt werden. Dafür berechnen wir die Ableitung, diese ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S'(a)
}
{ =} { { \left( -a^3 + { \frac{ 51 }{ 2 } } a^2 -94 a - { \frac{ 205 }{ 4 } } \right) }^\prime
}
{ =} { -3a^2 + 51 a - 94
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Nullstellenberechnung dieser Ableitung führt auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^2-17a + { \frac{ 94 }{ 3 } }
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw. auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a- { \frac{ 17 }{ 2 } } \right) }^2
}
{ =} { - { \frac{ 94 }{ 3 } } + { \left( { \frac{ 17 }{ 2 } } \right) }^2
}
{ =} { - { \frac{ 94 }{ 3 } } + { \frac{ 289 }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ -376+867 }{ 12 } }
}
{ =} { { \frac{ 491 }{ 12 } }
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_0
}
{ =} {\sqrt{ { \frac{ 491 }{ 12 } } } + { \frac{ 17 }{ 2 } }
}
{ \cong} { 14, 8966
}
{ \cong} { 14 \text{ Uhr } 54
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die negative Wurzel muss nicht berücksichtigt werden, da diese zu einem $a$ außerhalb des Definitionsbereiches führt} {} {.}
Die zweite Ableitung
\mathdisp {S^{\prime \prime} (a) = -6a +51} { }
ist an der Stelle $a_0$ negativ, so dass dort das Maximum vorliegt. Da die Ableitung keine weiteren Nullstellen im Intervall besitzt, müssen die Randpunkte nicht gesondert betrachtet werden.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise die Newton-Leibniz-Formel.
}
{
Aufgrund von
Satz 18.17 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
existiert das Integral. Mit der
\definitionsverweis {Integralfunktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(x)
}
{ \defeq} { \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ =} { G(b)
}
{ =} { G(b) - G(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund von
Satz 19.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
ist $G$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G'(x)
}
{ =} { f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. $G$ ist eine Stammfunktion von $f$. Wegen
Lemma 19.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ = }{ G(x)+c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ =} { G(b) - G(a)
}
{ =} { F(b) - c - F(a) + c
}
{ =} { F(b) -F(a)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} {}
mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix},\, \varphi \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\2 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {a \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}} { . }
Die Zeilenoperation
\mathl{IV = 2II-III}{} führt auf
\mathdisp {(IV) \,\,\, 7b -c = -14} { }
und
\mathl{V=I+2IV}{} führt auf
\mathdisp {(V) \,\,\, 15b = -25} { . }
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { { \frac{ -25 }{ 15 } }
}
{ =} { -{ \frac{ 5 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2c
}
{ =} {3-b
}
{ =} {3 + { \frac{ 5 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 14 }{ 3 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { -5-4b-c
}
{ =} { -5-4 { \left( { \frac{ -5 }{ 3 } } \right) } - { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ -15 }{ 3 } } + { \frac{ 20 }{ 3 } } - { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ =} { - { \frac{ 2 }{ 3 } }
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \varphi { \left( - { \frac{ 2 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} - { \frac{ 5 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} + { \frac{ 7 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} \right) }
}
{ =} { - { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot \varphi \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} - { \frac{ 5 }{ 3 } } \cdot \varphi \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} + { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot \varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix}
}
{ =} {- { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix}- { \frac{ 5 }{ 3 } } \cdot \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} + { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot \begin{pmatrix} 7 \\2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -2 - { \frac{ 5 }{ 3 } } + { \frac{ 49 }{ 3 } } \\{ \frac{ 4 }{ 3 } } + { \frac{ 14 }{ 3 } } \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 38 }{ 3 } } \\ { \frac{ 18 }{ 3 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 38 }{ 3 } } \\ 6 \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es seien
\mathl{a,b,c \in \R}{} reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} c \\a\\ b \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} b \\c\\ a \end{pmatrix} \in \R^3} { . }
Man gebe Beispiele für
\mathl{a,b,c}{} derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension
\mathl{0,1,2,3}{} besitzt.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ = }{c
}
{ = }{0
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann steht hier dreimal der Nullvektor und der davon erzeugte Untervektorraum ist der Nullraum, welcher die Dimension $0$ besitzt.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ = }{c
}
{ = }{1
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann steht hier dreimal der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}}{} und der davon erzeugte Untervektorraum besitzt die Dimension $1$.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann liegen die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -1 \\0\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}} { }
vor. Addition dieser drei Vektoren ergibt den Nullvektor, so dass eine lineare Abhängigkeit vorliegt und die Dimension des erzeugten Raumes maximal $2$ sein kann. Da die ersten beiden Vektoren offenbar linear unabhängig sind, ist die Dimension genau $2$.
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{c
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann liegt die Standardbasis vor und der erzeugte Vektorraum ist $\R^3$, also dreidimensional.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \\0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\0 & -2 & -3 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Die Determinante von $A$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \\0 & 2 & -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { -10 -2 (-4)
}
{ =} { -2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Determinante von $B$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\0 & -2 & -3 \end{pmatrix}
}
{ =} { -9 +12
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Produkt der beiden Matrizen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ AB
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \\0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\0 & -2 & -3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 14 & 31 \\ 2 & -6 & -1 \\0 & 8 & 15 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Determinante davon ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det AB
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} 1 & 14 & 31 \\ 2 & -6 & -1 \\0 & 8 & 15 \end{pmatrix}
}
{ =} { -90+8 -2 (14 \cdot 15 - 8 \cdot 31)
}
{ =} { -82 -2 (210-248)
}
{ =} { -82 -2 ( -38)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { -82 +76
}
{ =} { -6
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
mit
\definitionsverweis {Vielfachheiten}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zur reellen
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} x & -1 & 1 \\ -1 & x & 0 \\-1 & 0 & x \end{pmatrix}
}
{ =} { x^3 - x +x
}
{ =} { x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist $0$ der einzige Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit $3$. Der Kern von
\mathl{\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}{} ist
\mathdisp {\R \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1 \end{pmatrix}} { . }
Dabei ist klar, dass dies zum Kern gehört. Der Rang der Matrix ist $2$, da die beiden ersten Zeilen linear unabhängig sind. Nach der Dimensionsformel ist also der Kern eindimensional und die geometrische Vielfachheit ist $1$.
}