Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/43/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	6	10	3	6	4	2	3	4	3	4	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$.
2. Eine reelle Potenzreihe.
3. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

4. Der Sinus hyperbolicus.
5. Das untere Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion ${}s$ zu einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in ${}\mathbb {R}$.
2. Die Rechenregeln für stetige Funktionen

   $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

3. Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ${}65000000$) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass ${}{\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl ist.

Aufgabe * (6 (1+3+2) Punkte)

Eine ${}n$-Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch ${}a-1$ Längsrillen und ${}b-1$ Querrillen in ${}n=a\cdot b$ (${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$) mundgerechte kleinere Stücke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Stücken besteht. Bei einer gegebenen vollständigen Aufteilung ${}A$ einer Schokolade kann man sich für jedes Stück ${}s$ fragen, wie oft es bei einem Teilungsschritt der Aufteilung beteiligt war. Diese Zahl nennen wir die Aufteilungstiefe von ${}s$. Die Summe aller Aufteilungstiefen zu allen Stücken nennen wir die Gesamtaufteilungstiefe der Aufteilung.

1. Es sei eine ${}4\times 4$-Schokolade gegeben. Zeige, dass es eine vollständig Aufteilung gibt, bei der jedes Stück die Aufspaltungstiefe ${}4$ besitzt.
2. Wir betrachten ein Eckstück einer ${}4\times 4$-Schokolade. Was ist seine minimale Aufteilungstiefe und was ist seine maximale Aufteilungstiefe?
3. Hängt für eine fixierte Schokolade die Gesamtaufteilungstiefe von der Aufteilung ab?

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang ${}d$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Die Süddeutsche Zeitung schrieb am 10.3.2020 unter dem Titel „Die Wucht der großen Zahl“ (von Christian Endt, Michael Mainka und Sören Müller-Hansen):

„Um zu verstehen, warum das neue Coronavirus so gefährlich ist, muss man sich klarmachen, was exponentielles Wachstum bedeutet. Der Begriff ist etwas sperrig, das Konzept dahinter aber einfach. Es geht um eine Vermehrung, die sich ständig selbst beschleunigt. Und dieses Muster lässt sich auch beim Coronavirus erkennen. Das ist der Hintergrund, warum nun immer strengere Auflagen verhängt werden, Fußballspiele ohne Publikum ausgetragen, Feste und Kongresse abgesagt werden. Und warum Gesundheitsminister Jens Spahn, Kanzlerin Angela Merkel und andere davon sprechen, man müsse die Ausbreitung des Virus verlangsamen. Sprich: Verhindern, dass es sich exponentiell verbreitet.“

1. Beschleunigt sich lineares Wachstum „ständig selbst“?
2. Beschleunigt sich quadratisches Wachstum wie bei der Funktion ${}f(x)=x^{2}$ „ständig selbst“?
3. Wie kann man exponentielles Wachstum charakterisieren?
4. Wenn man exponentielles Wachstum „verlangsamen“ möchte, verhindert man dann exponentielles Wachstum oder ändert man Parameter (welche?) für exponentielles Wachstum?

Aufgabe * (2 Punkte)

Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis.

	Grad	Bogenmaß	Prozent
	${}\,$	${}\,$	${}100\,\%$
	${}270^{\circ }$	${}\,$	${}\,$
	${}\,$	${}{\frac {\pi }{10}}$	${}\,$
	${}60^{\circ }$	${}\,$	${}\,$
	${}\,$	${}\pi$	${}\,$
	${}\,$	${}\,$	${}1\,\%$

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Bestimme die Ableitung (auf den jeweiligen Definitionsbereichen) der folgenden Funktionen:

a) ${}\tan x$,

b) ${}\arctan x$.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine periodische Funktion mit der Periode ${}L>0$.

a) Es sei ${}f$ differenzierbar. Zeige, dass die Ableitung ${}f'$ ebenfalls periodisch mit der Periode ${}L$ ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer nichtkonstanten, periodischen, stetigen Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, deren Stammfunktion nicht periodisch ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

${}F(x)=x^{4}-x^{3}\,$

im Innern von ${}[0,1]$ stets negativ ist und berechne den Flächeninhalt der durch den Graphen unterhalb von ${}[0,1]$ eingeschlossenen Fläche.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&-2\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&7\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&3\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die drei Funktionen

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}f(x)=x$, ${}g(x)=\sin x$ und ${}h(x)=\cos x$ linear abhängig sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}1&4&1\\1&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}2&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}.$