Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/46/Klausur



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 3 3 1 2 2 5 3 3 5 3 5 3 3 2 4 1 9 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein angeordneter Körper.
  2. Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe .
  3. Eine ungerade Funktion .
  4. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  5. Ein Erzeugendensystem eines -Vektorraumes .
  6. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Regel für die Konvergenz der inversen Folge einer reellen Folge.
  2. Die Periodizätseigenschaften für Sinus und Kosinus (ohne spezielle Werte).
  3. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.


Aufgabe * (1 Punkt)

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

  1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  3. Linda engagiert sich bei Attac.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Funktion


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die Gleichung


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion


Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept „Approximation“ anhand typischer Beispiele.


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine Teilmenge,

eine Funktion und . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist stetig im Punkt .
  2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

mit Hilfe von


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Polynom vom Grad und . Zeige unter Verwendung der Taylor-Formel, dass das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt mit übereinstimmt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

mit . Zeige durch Induktion, dass

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Bestimme die Anzahl der nicht invertierbaren -Matrizen über .


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Determinante zur Matrix


Aufgabe * (9 (2+3+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Matrix

a) Bestimme

für .

b) Sei

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen und und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu .