Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/54/Klausur



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 2 3 5 6 3 3 3 1 7 3 5 3 3 3 6 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Teilmenge einer Menge .
  2. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  3. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  4. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

    auf einem Intervall zur Unterteilung und den Werten , .

  5. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  6. Der Spaltenrang einer -Matrix über einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Majorantenkriterium für eine Reihe von reellen Zahlen.
  2. Der Satz über die Taylorreihe einer Potenzreihe.
  3. Der Satz über Vektoren in einem -dimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.


Aufgabe * (2 Punkte)

Eine Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das aus rechteckigen Teilstücken besteht ( beziehe sich auf die Länge). Die Teilstücke sind durch Längsrillen und durch Querrillen voneinander abgetrennt. Der Abstand der Längsrillen sei und der Abstand der Querrillen sei . Was ist der Flächeninhalt der Schokolade? Wie lang ist die Gesamtrille?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine endliche Menge und eine Abbildung. Es sei die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen mit gibt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit „unserer“ Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art „Ordnung“ auf den rationalen Zahlen, die sie mit bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen sind. Dagegen gilt bei ihnen

für jede rationale Zahl . Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die als heilig verehren.

Zeige, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt.

  1. Für je zwei Elemente gilt entweder oder oder .
  2. Aus und folgt (für beliebige ).
  3. Aus und folgt .
  4. Aus und folgt .

Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt nicht?


Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei

  1. Finde eine ganzzahlige Nullstelle von .
  2. Finde sämtliche reellen Nullstellen von .
  3. Bestimme eine Zerlegung von in Linearfaktoren.


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Aufgabe * (3 Punkte)

Untersuche die Folge

auf Konvergenz. Verwende, dass gegen konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.


Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion

im Punkt bis zum Grad .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar ist und dass für alle gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.