Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/58/Klausur



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 2 3 2 4 2 2 2 3 4 4 8 4 2 2 3 4 2 1 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Die komplexe Konjugation.
  3. Der Tangens hyperbolicus.
  4. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
  5. Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).
  6. Das charakteristische Polynom zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Zwischenwertsatz.
  2. Die Ableitung der reellen Exponentialfunktion.
  3. Der Satz über die Transformation eines linearen Gleichungssystems in Dreiecksgestalt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Aussagenvariablen. Zeige, dass die Aussage

eine Tautologie ist. Ist eine Wahrheitstabelle hier sinnvoll?


Aufgabe * (3 Punkte)

Heidi Gonzales macht Karate und isst gerne Schokolade. Um eine Schokolade schneller in ihre Teilstücke zerlegen zu können, hat sie einen speziellen Karateschlag entwickelt, mit dem sie beliebig viele Schokoladenstücke gleichzeitig längs einer Rille zerteilen kann, die Stücke müssen dabei nur derart übereinander liegen, dass die Rillen übereinander liegen. Heide hat nun eine Schokolade mit Teilstücken. Mit wie vielen Karateschlägen kann sie minimal die Schokolade vollständig zerlegen?


Aufgabe (2 Punkte)

Biclique K 3 3.svg

Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Formel

durch Induktion nach .


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Quadrat des Polynoms


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn

gilt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zu jeder natürlichen Zahl sei ein normiertes Polynom vom Grad und ein normiertes Polynom vom Grad gegeben. Ist die Folge

(es sei zusätzlich stets ) eine Nullfolge?


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

eine reelle Lösung im Intervall besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.


Aufgabe * (4 Punkte)

Im sei durch

eine Gerade gegeben. In der -Ebene sei der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden mit der Ebene innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis ?


Aufgabe * (8 (1+1+1+2+3) Punkte)

Es sei

die Standardparabel und der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .

  1. Skizziere und .
  2. Erstelle eine Gleichung für .
  3. Bestimme die Schnittpunkte
  4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von nach .
  5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien

differenzierbare Funktionen und

mit . Zeige, dass man die Ableitung von als einen Bruch mit im Nenner schreiben kann.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion zur Funktion ()


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die -Matrizen über einem Körper der Form

mit


Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.