Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/T2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	6	4	4	5	3	3	4	5	2	4	5	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Die Exponentialreihe für ${}x\in \mathbb {R}$ .
Der Tangens.
Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt
${}a\in \mathbb {R}$ .
Die Zahl ${}\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
Das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu einer ${}n$ -mal differenzierbaren Funktion
$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ .
Eine Treppenfunktion
$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen ${}f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ .
Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},

gilt ${}f(-1)=-1$ und ${}f(1)=1$ . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen ${}-1$ und ${}1$ geben, also eine Zahl ${}x\in [-1,1]$ mit ${}f(x)=0$ . Es ist doch aber stets ${}{\frac {1}{x}}\neq 0$ .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-4x+2.

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[1,2]$ , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$ , in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die folgende Aussage: Jede beschränkte Folge von reellen Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge (Satz von Bolzano-Weierstraß).

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne

2^{\frac {9}{10}}

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

{}f(x)=a^{x}\,

eine Exponentialfunktion mit ${}a\neq 1$ . Zu jedem ${}x\in \mathbb {R}$ definiert die Gerade durch die beiden Punkte ${}(x,f(x))$ und ${}(x+1,f(x+1))$ einen Schnittpunkt mit der ${}x$ -Achse, den wir mit ${}s(x)$ bezeichnen. Zeige

{}s(x+1)=s(x)+1\,.

Skizziere die Situation.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

{}y=3x-2\,

gegebenen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n}{n^{2}}}

konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

periodische Funktionen mit den Periodenlängen ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$ . Der Quotient ${}L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch ${}f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien

g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über ${}n$ die Beziehung

{}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\cos(\ln x).

a) Bestimme die Ableitung ${}f'$ .

b) Bestimme die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

vom Grad ${}d\geq 1$ maximal ${}d-1$ lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal ${}d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd ${}f$ streng wachsend oder streng fallend ist.