Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/1/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 5 1 6 8 2 4 5 4 4 6 4 5 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt .
  2. Die Konvergenz einer Folge in einem metrischen Raum .
  3. Ein Anfangswertproblem in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .
  4. Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  5. Ein kritischer Punkt einer differenzierbaren Funktion .
  6. Der Schwerpunkt zu einer stetigen Massenverteilung

    auf einer kompakten Teilmenge mit positivem Gesamtvolumen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.
  2. Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
  3. Der Satz über stetige partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit für eine Funktion .


Aufgabe * (5 (4+1) Punkte)

a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

für .

b) Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit linearer Abbildungen.


Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Ebene ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt und Radius , also

Eine Person befindet sich im Punkt und möchte zum Punkt , wobei sie sich nur in bewegen darf.

a) Zeige, dass die Person von nach entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge ist.

b) Zeige, dass die Person von nach entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kurve

in jedem Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Bilinearform auf einem zweidimensionalen reellen Vektorraum, die bezüglich einer Basis durch die Gramsche Matrix

beschrieben werde. Bestimme den Typ der Form in Abhängigkeit von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen

und


Aufgabe * (6 (4+1+1) Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion mit

für alle .

a) Zeige, dass in einen kritischen Punkt besitzt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ein isoliertes lokales Maximum besitzt.

c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in kein Extremum besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe * (5 (2+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass in regulär ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Additivität des Volumens für zwei disjunkte Teilmengen.