Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/20/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 2 | 3 | 5 | 8 | 1 | 9 | 6 | 9 | 11 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen
a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()
b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()
c) Löse das Anfangswertproblem
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn in jeder offenen Menge mit alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) verlaufen und eine Sprunghöhe von erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?
Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)Referenznummer erstellen
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
b) Löse das Anfangswertproblem
mit der Anfangsbedingung .
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (9 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen und , wobei endlichdimensionale - Vektorräume sind.
Aufgabe * (6 (1+3+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Determinante für - Matrizen als Funktion
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu und die kritischen Punkte.
- Untersuche auf lokale Extrema. Bestimme insbesondere den Typ der Hesse-Matrix im Nullpunkt.
- Finde einen zweidimensionalen Untervektorraum
auf dem die (Einschränkung der) Determinante ein lokales Minimum besitzt.
Aufgabe * (9 (2+2+5) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung . Zeige, dass regulär ist.
b) Beschreibe für den Punkt den Tangentialraum an die Faser von durch .
c) Man gebe für einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von in der Faser durch an.
Aufgabe * (11 (4+7) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers
b) Zeige, dass das (von abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).