Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 57/latex

\setcounter{section}{57}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Annulus.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Annulus.svg } {} {Nandhp} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Flächeninhalt eines \definitionsverweis {Annulus}{}{} gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {,} \definitionsverweis {flächentreu}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x + \sin y ,y + \cos x) } {.} Berechne das Minimum und das Maximum von
\mathl{\betrag { \det \left(D\varphi\right)_{P} }}{} auf dem Quadrat
\mathl{Q=[0,2 \pi] \times [0,2 \pi ]}{.} Welche Abschätzung ergibt sich daraus für
\mathl{\lambda^2( \varphi(Q))}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^3 } {,} in reellen Koordinaten und bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} und die \definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{} davon. Ebenso für $z^4$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde möglichst große offene Teilmengen
\mathl{G \subseteq {\mathbb C} \cong \R^2}{} und
\mathl{H \subseteq {\mathbb C}}{} derart, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^3 } {,} einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} von $G$ nach $H$ induziert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} einer \definitionsverweis {linearen Isometrie}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n } {} gleich \mathkor {} {1} {oder gleich} {-1} {} ist.

}
{} {Tipp: Was passiert mit dem Einheitswürfel?}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {volumentreu}{}{,} aber keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {offene Mengen}{}{} im
\mathl{\R^n}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {volumentreuer}{}{} $C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{.} Es sei $G$ \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.} Zeige, dass entweder
\mathl{(J(\varphi))(x) =1}{} für alle
\mathl{x \in G}{} oder aber
\mathl{(J(\varphi))(x) =-1}{} für alle
\mathl{x \in G}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme durch Integration die $x$- und die $y-$Koordinate des \definitionsverweis {Schwerpunktes}{}{} der oberen Einheitshalbkugel \zusatzklammer {siehe Beispiel 56.12} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} auf offenen Mengen
\mathl{G,H \subseteq \R^n}{} und einer \definitionsverweis {kompakten Teilmenge}{}{}
\mathl{T \subseteq G}{} an derart, dass für den \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} $S$ von $T$ und den Schwerpunkt $S'$ von
\mathl{\varphi(T)}{}
\betonung{nicht}{}
\mathl{\varphi(S)=S'}{} gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x^3-y^2,xy^2) } {.} Berechne das Minimum und das Maximum von
\mathl{\betrag { \det \left(D\varphi\right)_{P} }}{} auf den beiden Quadraten \mathkor {} {Q_1= [0,1] \times[0,1]} {und} {Q_2= [1,2] \times[1,2]} {.} Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für \mathkor {} {\lambda^2( \varphi(Q_1))} {und für} {\lambda^2( \varphi(Q_2))} {?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} {[0,10]} {\R } {x} {x^2 } {,} und interessieren uns für die Straße der Breite $1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge $1$ \zusatzklammer {mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen} {} {} untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine \zusatzklammer {möglichst einfache} {} {} Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe das komplexe Potenzieren \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^n } {,} in \definitionsverweis {Polarkoordinaten}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} und die \definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{} zur Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C} \cong \R^2} {{\mathbb C} \cong \R^2 } {z} {z^n } {,} in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(a,b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Hilfe von \definitionsverweis {Polarkoordinaten}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{} und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $\R^n$ mit den zugehörigen \definitionsverweis {Koordinatenfunktionen}{}{}
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{.} Es sei \maabbdisp {f} {T} {\R} {} eine stetige Massenverteilung auf $T$ mit der Gesamtmasse
\mathl{M >0}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t_i }
{ =} { { \frac{ 1 }{ M } } \int_T y_i \cdot f d \lambda^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die $i$-te Koordinate des \definitionsverweis {Schwerpunktes}{}{} von $T$ bezüglich dieser Basis ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch ein Beispiel, dass unter den \definitionsverweis {Polarkoordinaten}{}{} der \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} einer kompakten Teilmenge
\mathl{T \subseteq \R^2}{}
\betonung{nicht}{} in den Schwerpunkt des Bildes $\varphi(T)$ überführt werden muss.

}
{} {}