Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 57

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.

Aufgabe

Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y),$

flächentreu ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+\sin y,y+\cos x).$

Berechne das Minimum und das Maximum von ${}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$ auf dem Quadrat ${}Q=[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]$. Welche Abschätzung ergibt sich daraus für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q))$?

Aufgabe

Beschreibe die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$

in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante davon. Ebenso für ${}z^{4}$.

Aufgabe

Finde möglichst große offene Teilmengen ${}G\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ und ${}H\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$

einen Diffeomorphismus von ${}G$ nach ${}H$ induziert.

Aufgabe *

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ ist.

Tipp: Was passiert mit dem Einheitswürfel?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

derart, dass ${}\varphi$ volumentreu, aber keine Isometrie ist.

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein volumentreuer ${}C^{1}$-Diffeomorphismus. Es sei ${}G$ zusammenhängend. Zeige, dass entweder ${}(J(\varphi ))(x)=1$ für alle ${}x\in G$ oder aber ${}(J(\varphi ))(x)=-1$ für alle ${}x\in G$ gilt.

Aufgabe

Bestimme durch Integration die ${}x$- und die ${}y-$Koordinate des Schwerpunktes der oberen Einheitshalbkugel (siehe Beispiel 56.12).

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines Diffeomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

auf offenen Mengen ${}G,H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einer kompakten Teilmenge ${}T\subseteq G$ an derart, dass für den Schwerpunkt ${}S$ von ${}T$ und den Schwerpunkt ${}S'$ von ${}\varphi (T)$ nicht ${}\varphi (S)=S'$ gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3}-y^{2},xy^{2}).$

Berechne das Minimum und das Maximum von ${}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert$ auf den beiden Quadraten ${}Q_{1}=[0,1]\times [0,1]$ und ${}Q_{2}=[1,2]\times [1,2]$. Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{1}))$ und für ${}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{2}))$?

Aufgabe (7 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$[0,10]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

und interessieren uns für die Straße der Breite ${}1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge ${}1$ (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe das komplexe Potenzieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{n},$

in Polarkoordinaten.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante zur Abbildung

${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2},\,z\longmapsto z^{n},$

in einem beliebigen Punkt ${}P=(a,b)$ mit der Hilfe von Polarkoordinaten.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Massenverteilung auf ${}T$ mit der Gesamtmasse ${}M>0$. Zeige, dass

${}t_{i}={\frac {1}{M}}\int _{T}y_{i}\cdot fd\lambda ^{n}\,$

die ${}i$-te Koordinate des Schwerpunktes von ${}T$ bezüglich dieser Basis ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige durch ein Beispiel, dass unter den Polarkoordinaten der Schwerpunkt einer kompakten Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ nicht in den Schwerpunkt des Bildes ${}\varphi (T)$ überführt werden muss.