Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 50/latex
\setcounter{section}{50}
\zwischenueberschrift{Bilinearformen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine Abbildung
\maabbeledisp {} {V \times V } {K
} {(v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle
} {,}
heißt \definitionswort {Bilinearform}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {w} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
und für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{}
sind.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Dann heißt die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\left\langle v_{ i } , v_{ j } \right\rangle _{ 1 \leq i , j \leq n }} { }
die \definitionswort {Gramsche Matrix}{} von
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis.
}
Die Hesse-Matrix ist beispielsweise die Gramsche Matrix der Hesse-Form bezüglich der Standardbasis im
\mathl{\R^n}{.} Für Elemente
\mathkor {} {v= \sum_i^n a_i v_i} {und} {w= \sum_i^n b_i v_i} {}
und die Gramsche Matrix $G$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left( a_1 , \, \ldots , \, a_n \right) G \begin{pmatrix} b_1 \\\vdots\\ b_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Die Bilinearform heißt \definitionswort {symmetrisch}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle w , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Die Hesse-Form ist eine symmetrische Bilinearform aufgrund des Satzes von Schwarz.
\zwischenueberschrift{Definitheit}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Diese Bilinearform heißt
\aufzaehlungfuenf{\definitionswort {positiv definit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {}
ist.
}{\definitionswort {negativ definit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {}
ist.
}{\definitionswort {positiv semidefinit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{\definitionswort {negativ semidefinit}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ \leq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{\definitionswort {indefinit}{,} wenn
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.
}
}
Positiv definite symmetrische Bilinearformen nennt man auch Skalarprodukte. Eine Bilinearform auf $V$ kann man auf einen Untervektorraum
\mathl{U \subseteq V}{} einschränken, wodurch sich eine Bilinearform auf $U$ ergibt. Wenn die ursprüngliche Form positiv definit ist, so überträgt sich dies auf die Einschränkung. Allerdings kann eine indefinite Form eingeschränkt auf gewisse Unterräume positiv definit und auf andere negativ definit werden.
Wir besprechen nun das Minorenkriterium\zusatzfussnote {Unter einem \stichwort {Minor} {} versteht man die Determinante einer quadratischen Untermatrix einer Matrix. Man könnte also genauso gut von einem Determinantenkriterium sprechen} {.} {} für Definitheit.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis und es seien $D_k$ die
\definitionsverweis {Determinanten}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratischen}{}{}
\definitionsverweis {Untermatrizen}{}{}
\mathdisp {M_k = ( \left\langle v_i , v_j \right\rangle )_{1 \leq i,j \leq k}, \, k=1 , \ldots , n} { . }
}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Genau dann ist
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {positiv definit}{}{,}
wenn alle $D_k$ positiv sind.
} {Genau dann ist
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {negativ definit}{}{,}
wenn das Vorzeichen in der Folge
\mathl{D_0=1,\, D_1, \, D_2 , \ldots , D_n}{} an jeder Stelle wechselt.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). \teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Bilinearform
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist, so ist nach
Fakt *****
das Vorzeichen der
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{}
gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (-1)^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also positiv. Da die Einschränkung der Form auf die Unterräume
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i
}
{ = }{ \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls positiv definit ist, sind auch die Determinanten zu den Untermatrizen positiv.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt die Determinanten alle positiv sind, so folgt aus
Satz 47.1 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)), dass die Bilinearform positiv definit ist.}
{}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt aus (1), indem man die negative Bilinearform, also
\mathl{- \left\langle - , - \right\rangle}{,} betrachtet.}
{}
Es gilt auch, dass wenn alle Minoren $D_k \neq 0$ und weder alle positiv noch abwechselndes Vorzeichen besitzen, dass dann die Matrix indefinit ist.
\zwischenueberschrift{Hinreichende Kriterien für lokale Extrema}
Wir kommen jetzt zu hinreichenden Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema einer Funktion \maabbdisp {f} {G} {\R } {,} die auf Eigenschaften der zweiten Richtungsableitungen, genauer der Hesse-Form, beruhen und die entsprechenden Kriterien in einer Variablen verallgemeinern. Zunächst brauchen wir ein Lemma, das beschreibt, wie die Defi\-nitheit \zusatzklammer {oder der \anfuehrung{Definitheitstyp}{}\zusatzfussnote {Der \stichwort {Typ} {} einer symmetrischen Bilinearform hat eine wohldefinierte Bedeutung:
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Man sagt, dass eine solche Bilinearform den \definitionswort {Typ}{}
\mathdisp {(p,q)} { }
besitzt, wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p
}
{ \defeq} {{\max { \left( \dim_{ \R } { \left( U \right) } , U \subseteq V, \, \left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U \text{ positiv definit} \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q
}
{ \defeq} {{\max { \left( \dim_{ \R } { \left( U \right) } , U \subseteq V, \, \left\langle - , - \right\rangle {{|}}_U \text{ negativ definit} \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
Es ist stets \mathlk{p+q \leq \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }}{} und es ist \mathlk{p= \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }}{} genau dann, wenn die Form positiv definit ist} {.} {}} {} {} der Hesse-Form vom Punkt abhängt.
\inputfaktbeweis
{Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Offenheit der positiv definiten Hesse-Form/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge
und
\maabbdisp {f} {G} {\R} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt, in dem die
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{}
\definitionsverweis {positiv (negativ) definit}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine offene Umgebung
\mathbed {U} {}
{P \in U \subseteq G} {}
{} {} {} {,}
derart, dass die Hesse-Form
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
positiv
\zusatzklammer {negativ} {} {}
definit ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$, und sei
\mathl{H (Q)}{} die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zur Hesse-Form
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich dieser Basis. Aufgrund der Differenzierbarkeitsvoraussetzungen hängt
\mathl{H(Q)}{}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
von $Q$ ab. Daher hängen auch die
\definitionsverweis {Determinanten}{}{}
der quadratischen Untermatrizen von
\mathl{H(Q)}{} stetig von $Q$ ab. Die Determinanten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_k(P)
}
{ =} { \det ((H(P)_{i,j} )_{1 \leq i,j \leq k} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind
nach Lemma 50.5
alle von $0$ verschieden. Daher gibt es eine offene Umgebung
\mathbed {U} {}
{P \in U \subseteq G} {}
{} {} {} {,}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Determinanten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_k(Q)
}
{ =} { \det ((H (Q)_{i,j} )_{1 \leq i,j \leq k} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das gleiche Vorzeichen haben wie
\mathl{D_k(P)}{.} Da diese Vorzeichen nach
Lemma 50.5
über die Definitheit entscheiden, folgt die Behauptung.
\inputfaktbeweis
{Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge
und
\maabbdisp {f} {G} {\R} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Wenn
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{}
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
ist, so besitzt $f$ ein
\definitionsverweis {isoliertes}{}{}
\definitionsverweis {lokales Maximum}{}{}
in $P$.
}{Wenn
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{}
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist, so besitzt $f$ ein
\definitionsverweis {isoliertes}{}{} \definitionsverweis {lokales Minimum}{}{}
in $P$.
}{Wenn
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{}
\definitionsverweis {indefinit}{}{}
ist, so besitzt $f$ in $P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Aufgrund von
Lemma 50.6
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{ U { \left( P,\delta \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
ist. Für alle Vektoren
\mathbed {v \in V} {}
{v \in U { \left( 0,\delta \right) }} {}
{} {} {} {,}
gibt es nach
Satz 48.5
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{c(v)
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+v)
}
{ =} { f(P) + \sum_{ \betrag { \, r \, } = 2 } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P+c v) \cdot v^r
}
{ =} { f(P) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P+cv } \, f ( v,v)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die erste Formulierung sich auf eine fixierte Basis bezieht und wobei die zweite Identität auf
Aufgabe *****
beruht. Da die Hesse-Form negativ definit ist, steht rechts für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zahl, die echt kleiner als
\mathl{f(P)}{} ist. Daher liegt ein isoliertes lokales Maximum vor.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) wird wie (1) bewiesen oder durch betrachten von $-f$ darauf zurückgeführt.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Es sei
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{}
\definitionsverweis {indefinit}{}{.}
Dann gibt es Vektoren
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
mit
\mathdisp {\operatorname{Hess}_{ P } \, f ( v,v) > 0 \text{ und } \operatorname{Hess}_{ P } \, f ( w,w) < 0} { . }
Wegen der stetigen Abhängigkeit der Hesse-Form gelten diese Abschätzungen auch für
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} für $Q$ aus einer offenen Umgebung von $P$
\zusatzklammer {mit den gleichen Vektoren $v$ und $w$} {} {.}
Wir können durch Skalierung von
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
annehmen, dass
\mathkor {} {P+v} {und} {P+w} {}
zu dieser Umgebung gehören. Wie im Beweis zu Teil (1) gilt daher
\zusatzklammer {$v$ und $w$ sind nicht $0$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+v)
}
{ =} { f(P) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P+cv } \, f ( v,v)
}
{ >} { f(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+w)
}
{ =} { f(P) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P+dw } \, f ( w,w)
}
{ <} { f(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also kann in $P$ kein lokales Extremum vorliegen.}
{}
\inputbeispiel{
}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {x+3x^2-2xy-y^2+y^3
} {.}
Die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial f }{ \partial x } } = 1+6x-2y \text{ und } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } = -2x-2y+3y^2} { . }
Zur Berechnung der
\definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{}
dieser Funktion eliminieren wir $x$ und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{9y^2-8y+1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,} die zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{7} }{ 9 } } + { \frac{ 4 }{ 9 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt. Die kritischen Punkte sind also
\mathdisp {P_1 = \left( { \frac{ 2 \sqrt{7} -1 }{ 54 } } , \, { \frac{ \sqrt{7} }{ 9 } } + { \frac{ 4 }{ 9 } } \right) \text{ und } P_2 = \left( { \frac{ -2 \sqrt{7} -1 }{ 54 } } , \, { \frac{ - \sqrt{7} }{ 9 } } + { \frac{ 4 }{ 9 } } \right)} { . }
Die
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
ist in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ (x,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hess}_{ Q } \, f
}
{ =} { \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & -2+6y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zur Bestimmung des Definitheitstyps ziehen wir
Lemma 50.5
heran, wobei der erste Minor, also $6$, natürlich positiv ist. Die Determinante der Hesse-Matrix ist
\mathdisp {-16 +36 y} { , }
was genau bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ > }{ { \frac{ 4 }{ 9 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
positiv ist. Dies ist im Punkt $P_1$ der Fall, aber nicht im Punkt $P_2$. Daher ist die Hesse-Matrix im Punkt $P_1$ nach
Lemma 50.5
positiv definit und somit besitzt die Funktion $f$ im Punkt $P_1$ nach
Satz 50.7
ein isoliertes
\definitionsverweis {lokales Minimum}{}{,}
das zugleich ein
\definitionsverweis {globales Minimum}{}{}
ist. In $P_2$ ist die Determinante negativ, so dass dort die Hesse-Form
\definitionsverweis {indefinit}{}{}
ist und somit, wiederum nach
Satz 50.7,
kein Extremum vorliegen kann.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R} { \R
} {(x,y)} { x^y
} {.}
Es
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^y
}
{ =} { e^{ ( \ln x) \cdot y }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial \varphi }{ \partial x } } = { \frac{ y }{ x } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} = { \frac{ y }{ x } } \cdot x^y \text{ und } { \frac{ \partial \varphi }{ \partial y } } = ( \ln x ) \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} = ( \ln x ) \cdot x^y} { . }
Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(1,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der einzige
\definitionsverweis {kritische Punkt}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
in einem Punkt
\mathl{(x,y)}{} ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \begin{pmatrix} { \frac{ -y+y^2 }{ x^2 } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} & { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} \\ { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} & ( \ln x)^2 \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ -y+y^2 }{ x^2 } } \cdot x^y & { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot x^y \\ { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot x^y & ( \ln x)^2 \cdot x^y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In $P$ ist dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hess}_{ P } \, \varphi
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 50.5
ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
noch
\definitionsverweis {negativ definit}{}{.}
Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix
\definitionsverweis {indefinit}{}{}
ist
\zusatzklammer {vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathlk{(1,1)}{}} {} {,}
da diese Bilinearform auf
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}}{} positiv und auf
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix}}{} negativ definit ist. Nach
Satz 50.7
liegt in diesem Punkt also kein
\definitionsverweis {Extremum}{}{}
vor.
Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für
\mathkor {} {x=1} {oder} {y=0} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen.
\aufzaehlungvier{Für
\mathkor {} {0<x<1} {und} {y>0} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mathkor {} {x>1} {und} {y>0} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mathkor {} {0<x<1} {und} {y<0} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mathkor {} {x>1} {und} {y<0} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Daher gibt es in jeder Umgebung von
\mathl{(1,0)}{} Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als $1$ sind.
}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {g} {[a,b]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {x_0
}
{ <} { x_1
}
{ <} { x_2
}
{ <} { \ldots
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ <} { x_n
}
{ <} { x_{n+1}
}
{ =} { b
}
{ } {}
}{}{}
eine Unterteilung des Intervalls durch $n$ Zwischenpunkte
\zusatzklammer {in \mathlk{n+1}{} Teilintervalle} {} {.}
Dazu gehört die
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{,}
die auf
\mathl{[x_i,x_{i+1}[}{} den konstanten Wert
\mathl{g(x_i)}{} annimmt. Wenn $g$
\definitionsverweis {monoton wachsend}{}{}
ist, so ist dies eine
\definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{,}
und das zugehörige
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {untere Schranke}{}{}
für das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathl{\int_a^b g(t)dt}{.} Das Treppenintegral ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n g(x_i) { \left( x_{i+1} -x_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Wir fragen uns, für welche Intervallunterteilung mit $n$ Teilpunkten das Treppenintegral
\definitionsverweis {maximal}{}{}
oder
\definitionsverweis {minimal}{}{}
wird. Dazu kann man die differentiellen Methoden zur Bestimmung von Extrema für Funktionen in mehreren Variablen verwenden
\zusatzklammer {nämlich den variablen Unterteilungspunkten \mathlk{x_1 , \ldots , x_n}{}} {} {,}
vorausgesetzt, dass $g$
\zusatzklammer {hinreichend oft} {} {}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
\zusatzklammer {in einer Variablen} {} {}
ist. In diesem Fall sind die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
von $f$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_i } }
}
{ =} { g'(x_i) { \left( x_{i+1}-x_i \right) } -g(x_i)+g(x_{i-1})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wobei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x_0
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ x_{n+1}
}
{ = }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu lesen ist} {} {.}
Als Definitionsbereich von $f$ kann man die offene Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ (x_1 , \ldots , x_n) \mid a <x_1 <x_2 < \ldots < x_n <b \right\} }
}
{ \subseteq} { \R^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder aber
\mathl{[a,b]^n}{} wählen. Es ist im Allgemeinen schwierig, die kritischen Punkte dieser Abbildung zu bestimmen.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen für die Funktion
\maabbeledisp {g} {\R} {\R
} {t} {g(t) = 1-t^3
} {,}
und das
\definitionsverweis {Einheitsintervall}{}{}
\mathl{[0,1]}{} bestimmen, für welche zwei Unterteilungspunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ < }{x
}
{ < }{y
}
{ < }{1
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
der zugehörigen
\zusatzklammer {dreistufigen} {} {}
\definitionsverweis {unteren Treppenfunktion}{}{}
maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y)
}
{ =} { x { \left( 1-x^3 \right) } + { \left( y-x \right) } { \left( 1-y^3 \right) }
}
{ =} { x-x^4+y-y^4-x+xy^3
}
{ =} { -x^4+y-y^4 +xy^3
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
dieser Funktion sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ =} { -4x^3+y^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } }
}
{ =} { 1 -4y^3 +3xy^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir bestimmen die
\definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{.}
Aus der ersten partiellen Ableitung ergibt sich die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { \sqrt[3]{4} x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daraus ergibt sich mit der zweiten partiellen Ableitung die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 -16 x^3 +3 \cdot 4^{2/3}x^3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 16 - 3 \cdot 4^{2/3} \right) } x^3
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ \sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} } } } , \, { \frac{ \sqrt[3]{4} }{ \sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} } } } \right)
}
{ \cong} { \left( 0,4911 , \, 0,7796 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der einzige kritische Punkt. Wir bestimmen die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
in diesem Punkt, sie ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hess}_{ P } \, f
}
{ =} { \begin{pmatrix} -12x^2 & 3y^2 \\ 3y^2 & -12y^2+6xy \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und in $P$ gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} - 2,8942 & 1,8233 \\ 1,8233 & -4,9961 \end{pmatrix}} { , }
also
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
nach Lemma 50.5.
Daher liegt in $P$ ein Maximum
nach Satz 50.7
vor.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen für die Funktion
\maabbeledisp {g} {\R} {\R
} {t} {t
} {,}
und das
\definitionsverweis {Einheitsintervall}{}{}
\mathl{[0,1]}{} bestimmen, für welche $n$ Unterteilungspunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ < }{ x_1
}
{ < }{ \ldots
}
{ < }{x_n
}
{ < }{1
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
der zugehörigen
\zusatzklammer {\mathlk{(n+1)}{-}stufigen} {} {}
\definitionsverweis {unteren Treppenfunktion}{}{}
maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ f(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} { x_1(x_2-x_1) +x_2(x_3-x_2) + \cdots + x_{n-1} (x_n-x_{n-1}) + x_n(1-x_n)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{n-1} x_{i}x_{i+1} +x_n - \sum_{i = 1}^n x_i^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
beschrieben. Die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
dieser Funktion sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } }
}
{ =} { x_2 -2x_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_i } }
}
{ =} { x_{i-1} +x_{i+1} -2x_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 2 , \ldots , n-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_n } }
}
{ =} { x_{n-1} + 1 - 2x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir bestimmen die
\definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{,}
indem wir die partiellen Ableitungen gleich $0$ setzen. Die ersten
\mathl{n-1}{} Gleichungen ergeben sukzessive die Bedingungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_i
}
{ =} { i x_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$. Dies zeigt man durch
\definitionsverweis {Induktion}{}{,}
der Induktionsanfang
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ist trivial,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt direkt aus der ersten Gleichung und der Induktionsschritt ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{i+1}
}
{ =} { -x_{i-1} +2x_i
}
{ =} { -(i-1)x_1 +2ix_1
}
{ =} { (i+1 ) x_1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der letzen Gleichung folgt schließlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { x_{n-1} +1 -2x_n
}
{ =} { 1 +( n-1 -2n ) x_1
}
{ =} { 1 -(n+1) x_1
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ n+1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der einzige kritische Punkt liegt also in der äquidistanten Unterteilung vor. Die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
ist
\zusatzklammer {unabhängig vom Punkt} {} {}
gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\
1 & -2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & -2& 1 & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 1 & -2 & 1\\
0 & \ldots & \ldots & 0 & 1 & -2
\end{pmatrix}} { . }
Diese Matrix ist
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
nach Lemma 50.5.
Daher liegt in der äquidistanten Unterteilung
nach Satz 50.7
das Maximum vor.
}
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