Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 17/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme das Polynom
in der neuen Variablen (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich
a) direkt durch Einsetzen,
b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
im Reellen.
a) Bestimme den Definitionsbereich von .
b) Skizziere für zwischen und .
c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von .
d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung von im Punkt .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur Funktion im Entwicklungspunkt .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme das Taylor-Polynom der Funktion im Entwicklungspunkt der Ordnung .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Funktion. Vergleiche die polynomiale Interpolation zu gegebenen Punkten und die Taylor-Polynome vom Grad zu einem Punkt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine im Punkt -fach differenzierbare Funktion. Zeige, dass das -te Taylor-Polynom zu im Punkt , geschrieben in der verschobenen Variablen , gleich dem -ten Taylor-Polynom der Funktion im Nullpunkt (geschrieben in der Variablen ) ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion das -te Taylor-Polynom von im Entwicklungspunkt nicht aus dem -ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt bestimmen kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien Polynome -ten Grades und es seien Punkte und natürliche Zahlen mit
Die Ableitungen von und in den Punkten sollen bis einschließlich zur -ten Ableitung übereinstimmen. Zeige .
Man mache sich zuerst die Aussage bei und und bei und für alle klar.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei . Bestimme ein Polynom vom Grad , das in den beiden Punkten und die gleichen linearen Approximationen wie besitzt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei . Bestimme Polynome vom Grad , die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.
(a) stimmt mit an den Stellen überein.
(b) stimmt mit in und in bis zur ersten Ableitung überein.
(c) stimmt mit in bis zur dritten Ableitung überein.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion
Aufgabe Aufgabe 17.17 ändern
Es sei ein Polynom und
Zeige, dass die Ableitung ebenfalls von der Form
mit einem weiteren Polynom ist.
Aufgabe Aufgabe 17.18 ändern
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme das Taylor-Polynom der dritten Ordnung zur Funktion im Nullpunkt mit dem in Bemerkung 17.9 beschriebenen Potenzreihenansatz.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des Sinus im Punkt mit dem in Bemerkung 17.11 beschriebenen Potenzreihenansatz.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt bis zum Grad der Funktion
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei . Bestimme ein Polynom vom Grad , das in den beiden Punkten und die gleichen linearen Approximationen wie besitzt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion
hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion
hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung des natürlichen Logarithmus im Entwicklungspunkt mit dem in Bemerkung 17.11 beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Zu sei der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen -Eckes. Zeige .