Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 18/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Treppenintegral über ${}[-3,+4]$ zur Treppenfunktion, die durch

${}f(t)={\begin{cases}5,{\text{ falls }}-3\leq t\leq -2\,,\\-3,{\text{ falls }}-2<t\leq -1\,,\\{\frac {3}{7}},{\text{ falls }}-1<t<-{\frac {1}{2}}\,,\\13,{\text{ falls }}t=-{\frac {1}{2}}\,,\\\pi ,{\text{ falls }}-{\frac {1}{2}}<t<e\,,\\0,{\text{ falls }}e\leq t\leq 3\,,\\1,{\text{ falls }}3<t\leq 4\,,\end{cases}}\,$

gegeben ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Unterteile das Intervall ${}[-4,5]$ in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf ${}[-4,5]$, die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte ${}2$ und ${}-1$ annimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch

1. ${}f+g$,
2. ${}f\cdot g$,
3. ${}{\max {\left(f,g\right)}}$,
4. ${}{\min {\left(f,g\right)}}$,

Treppenfunktionen sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

eine Treppenfunktion und

$g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

und einer Treppenfunktion

$g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{1}t\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{1}^{2}t^{3}\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)

${}\int _{0}^{1}e^{x}dx=e-1\,.$

Aufgabe * Aufgabe 18.10 ändern

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}s_{n}\leq f$ und eine Folge von Treppenfunktionen ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}t_{n}\geq f$. Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann ${}f$ Riemann-integrierbar ist und dass

${}\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}s_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}t_{n}(x)\,dx\,$

gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine nach unten beschränkte stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das Supremum über alle Treppenintegrale zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen (also das Unterintegral) existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt.

Aufgabe Aufgabe 18.12 ändern

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Die Funktion ${}f$ ist Riemann-integrierbar.
2. Es gibt eine Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ derart, dass die einzelnen Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar sind.
3. Für jede Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ sind die Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar.

Aufgabe Aufgabe 18.13 ändern

Es sei ${}I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Ist ${}m\leq f(x)\leq M$ für alle ${}x\in I$, so ist ${}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)$.
2. Ist ${}f(x)\leq g(x)$ für alle ${}x\in I$, so ist ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}g(t)\,dt$.
3. Es ist ${}\int _{a}^{b}f(t)+g(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt+\int _{a}^{b}g(t)\,dt$.
4. Für ${}c\in \mathbb {R}$ ist ${}\int _{a}^{b}(cf)(t)\,dt=c\int _{a}^{b}f(t)\,dt$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeige, dass

$\vert {\int _{a}^{b}f(t)\,dt}\vert \leq \int _{a}^{b}\vert {f(t)}\vert \,dt$

gilt.

Aufgabe * Aufgabe 18.15 ändern

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch ${}{\max {\left(f,g\right)}}$ Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe Aufgabe 18.16 ändern

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch ${}fg$ Riemann-integrierbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch ${}f+g$ eine Treppenfunktion ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das bestimmte Integral

$\int _{a}^{b}t^{2}\,dt$

in Abhängigkeit von ${}a$ und ${}b$ explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{-2}^{7}-t^{3}+3t^{2}-2t+5\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für die Funktion

$]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$

weder das Unterintegral noch das Oberintegral existiert.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für die Funktion

$]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x}}},$

das Unterintegral existiert, aber nicht das Oberintegral.

Tipp: Verwende Aufgabe 9.6.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine monotone Funktion. Zeige, dass ${}f$ Riemann-integrierbar ist.