Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/12

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

Im Beweis zu Satz 12.6,wieso ist für ${}n\geq 2\vert {x}\vert$ der Quotient ${}{\frac {\vert {x}\vert }{n+1}}$ kleiner als ${}{\frac {1}{2}}$ ?

Antwort

Aus ${}n\geq 2\vert {x}\vert$ folgt durch Multiplikation mit ${}{\frac {1}{2n}}$ die Ungleichung ${}{\frac {1}{2}}\geq {\frac {\vert {x}\vert }{n}}$. Wegen ${}n+1\geq n$ ist dann auch ${}{\frac {1}{2}}\geq {\frac {\vert {x}\vert }{n}}\geq {\frac {\vert {x}\vert }{n+1}}$.

Studentenfrage

Aus welchem Grund gibt es eigentlich zwei unterschiedliche Schreibweisen für ${}e^{x}$, ich meine in diesem Fall ${}e^{x}$ und ${}\exp x$. Die haben komplett die selbe Bedeutung und es macht keinen Unterschied (im rechnerischen Sinne) ob man das eine oder das andere verwendet.

Antwort

Die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$

haben wir eingeführt, als wir die eulersche Zahl ${}e$ noch gar nicht definiert hatten. Erst damit haben wir ${}e:=\exp 1$ definiert und wegen Korollar 12.9  (3) ist ${}e^{x}=\exp x$ für ganze Zahlen ${}x$.

Für beliebige reelle Zahlen ${}x\in \mathbb {R}$ wird auch gar nicht sofort klar was ${}e^{x}$ sein soll. Deshalb definieren wir die reellen Exponentialfunktionen über ${}\exp x$. Der Wert von ${}e^{x}$ ist also erst auf sinnvolle Weise gegeben durch ${}\exp x$.

Wenn das geklärt ist, darfst du natürlich beide Terme austauschbar benutzen. Die Schreibweise ${}\exp x$ macht manchmal etwas klarer, dass es sich um eine Abbildung handelt.

Studentenfrage

Die reelle Exponentialfunktion ${}\exp x$ ist durch eulersche Zahl hoch ${}x$ definiert, und die eulersche Zahl hat ungefähr den Wert 2,71. Also, ich kann auch die reelle Exponentialfunktion als 2.718... hoch ${}x$ darstellen, oder?

Antwort

Nein, die Exponentialfunktion ${}\exp x$ wurde nicht als ${}e^{x}$ definiert, sondern anders herum, wie auch in der anderen Antwort ausgeführt.

Für ganze Zahlen als Exponenten kannst du nach Korollar 12.9  (3) natürlich mit ${}e^{x}$ rechnen. Die Formulierung 2.718... hoch x ist aber auch für ganze Zahlen ${}x$ gefährlich, da es möglicherweise impliziert, dass du mit gerundeten Werten rechnest. Dabei musst du sehr aufpassen, da beim Potenzieren der Rundungsfehler auch stark anwächst.

Studentenfrage

In Bemerkung 12.11 wird gesagt, dass die Eulersche Zahl auch als Grenzwert der dort aufgeführten Folgen eingeführt werden kann. Ich verstehe jetzt nur nicht genau, wieso das so ist, gibt es dafür ein Beweis?

Antwort

Das wurde sogar schon im 1748 publizierten Werk w:en:Introductio in analysin infinitorum von Leonhard Euler bewiesen. Einen etwas übersichtlicheren Beweis, dass der Grenzwert der beiden Folgen übereinstimmt findest du hier: [1].

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 12

Für Aufgabe 12.29 braucht man nur die Definition des Cauchyprodukts und etwas Knobelkunst, Ausdauer und Präzision. Es hilft, vorher die ersten Glieder des Cauchyprodukts einer Reihe mit sich selbst und eventuell Aufgabe 12.3 auszurechnen um zu verstehen, wie man die Glieder vereinfachen kann. Außerdem braucht man das als Zwischenschritt sowieso.

Die häufigste Fehlerquelle war auf jeden Fall, dass viele Gruppen einfach viel zu wenig Aufgaben bearbeiten. Ansonsten wurden sehr viele dumme, vermeidbare Fehler gemacht, z.B. Exponenten nur in den Zähler zu schreiben, dann aber zu rechnen, als ob der ganze Bruch potenziert wird.

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