Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/16/Einsatz der inversen trigonometrischen Funktionen/Studentenfrage/Antwort

Es ist immer sinnvoll zu wissen, ob eine Funktion in einem bestimmten Intervall bijektiv ist und also eine Umkehrfunktion hat. Das gilt insbesondere bei so wichtigen Funktionen wie den trigonometrischen Funktionen.

Direkt erlauben die inversen trigonometrischen Funktionen zum Beispiel aus den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks den Winkel (im Bogenmaß) zu berechnen. Sagen wir ein Dreieck habe die Seitenlängen ${}a$, ${}g$, ${}t$, wobei der rechte Winkel zwischen den Strecken mit den Längen ${}a$ und ${}g$ liege. Um direkt den Zusammenhang mit der ersten Einführung des Sinus und Kosinus am Kreis aus Vorlesung 13 herzustellen, skalieren wir das Dreieck, so dass ${}t$ zu ${}1$ wird, die Winkel ändern sich ja dabei nicht. Wenn wir den Winkel zwischen den Strecken ${}a$ und ${}t$ berechnen wollen, ist ${}{\frac {g}{t}}$ also die Gegenkathete im skalierten Dreieck. Der Winkel ist dann ${}\alpha =\arcsin {\frac {g}{t}}$, denn ${}\sin \alpha$ ist ja die Länge der Gegenkathete (geteilt durch die Hypotenuse, was wir durch die Skalierung erledigen). Das und weiteres in der Form kennst du sicher aus der Schule. Diese elementargeometrischen Überlegungen sollte man trotz unserer formalen Einführung der trigonometrischen Funktionen mithilfe von Potenzreihen nicht ganz aus den Augen verlieren.

Des weiteren für uns wichtig sind Umkehrfunktionen zum Beispiel auch bei der Substitutionsregel für die Integration. Der Arkuskosinus wird in Beispiel 20.10 verwendet um die obere Hälfte der Kreisfläche zu berechnen.

Zur beantworteten Studentenfrage