Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/16

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

Den Beweis von Lemma 16.10 verstehe ich nur bis zum Teil, wo es mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall gibt. Aber die folgende Erklärung über die Eindeutigkeit der Nullstelle begreife ich nicht wirklich.

Antwort

Wir zeigen, dass der Kosinus im Intervall ${}[0,2]$ streng fallend ist. Dies wird bewiesen indem die Ableitung betrachtet wird und gezeigt wird, dass sie im offenen Intervall ${}]0,2[$ echt negativ ist. Die Ableitung des Kosinus ist das Negative des Sinus, also ist das äquivalent dazu, dass der Sinus in ${}]0,2[$ echt positiv ist.

Wenn man den Graph des Sinus betrachtet ist das zwar direkt ersichtlich, aber wir wollen es rigoros mithilfe der Definition des Sinus beweisen. Dazu werden immer zwei aufeinanderfolgende Summanden der Potenzreihenentwicklung des Sinus durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors zusammengefasst. Dabei ist jeder zusammengefasste Summand von der Form

${\frac {x^{n}}{n!}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{(n+1)\cdot (n+2)}}\right)}$

und ${}n=1,5,9,13,\ldots$. Innerhalb der Intervallgrenzen von ${}[0,2]$ ist

${\left(1-{\frac {x^{2}}{(n+1)\cdot (n+2)}}\right)}$

am kleinsten, wenn ${}x=2$ ist. Wir setzen 2 für ${}x$ ein und sehen dass ${}{\frac {2^{2}}{(n+1)\cdot (n+2)}}$ für alle vorkommenden ${}n$ kleiner als ${}1$ ist. Jeder der Summanden ist also nichtnegativ. Weil alle Summanden nichtnegativ sind, ist ${}\sin x\geq {\frac {x}{3}}$, dem ersten Summanden. Dass ${}{\frac {x}{3}}$ auf dem offenen Intervall ${}]0,2[$ echt positiv ist, ist direkt ersichtlich, also muss auch der Sinus auf diesem offenen Intervall echt positiv sein.

Studentenfrage

Wie wurden die arcsin(), arccos() und arctan() herausgefunden/bewiesen? Wir haben hier(Def. 16.16-16.18) nur die Definitionen vorliegen.

Antwort

Dass die Umkehrfunktionen von Sinus, Kosinus und Tangens existieren ist Aussage von Korollar 16.14 und Korollar 16.15. Beweisen sollt ihr diese Aussagen in Aufgabe 16.12 und Aufgabe 16.13.

Die Bijektivität dieser Funktionen auf den angegebenen Intervallen beweist man am Besten mithilfe ihrer strengen Monotonie. Das wiederum funktioniert bei differenzierbaren Funktionen am Besten so wie im zweiten Teil des Beweises von Lemma 16.10 durchgeführt, indem wir zeigen, dass die Ableitung im gesamten Inneren des Intervalls echt positiv oder echt negativ ist.

Studentenfrage

In der Vorlesung werden die inversen trigonometrischen Funktionen thematisiert. Wann und wozu werden diese benötigt bzw. eingesetzt? Was kann man damit berechnen?

Antwort

Es ist immer sinnvoll zu wissen, ob eine Funktion in einem bestimmten Intervall bijektiv ist und also eine Umkehrfunktion hat. Das gilt insbesondere bei so wichtigen Funktionen wie den trigonometrischen Funktionen.

Direkt erlauben die inversen trigonometrischen Funktionen zum Beispiel aus den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks den Winkel (im Bogenmaß) zu berechnen. Sagen wir ein Dreieck habe die Seitenlängen ${}a$, ${}g$, ${}t$, wobei der rechte Winkel zwischen den Strecken mit den Längen ${}a$ und ${}g$ liege. Um direkt den Zusammenhang mit der ersten Einführung des Sinus und Kosinus am Kreis aus Vorlesung 13 herzustellen, skalieren wir das Dreieck, so dass ${}t$ zu ${}1$ wird, die Winkel ändern sich ja dabei nicht. Wenn wir den Winkel zwischen den Strecken ${}a$ und ${}t$ berechnen wollen, ist ${}{\frac {g}{t}}$ also die Gegenkathete im skalierten Dreieck. Der Winkel ist dann ${}\alpha =\arcsin {\frac {g}{t}}$, denn ${}\sin \alpha$ ist ja die Länge der Gegenkathete (geteilt durch die Hypotenuse, was wir durch die Skalierung erledigen). Das und weiteres in der Form kennst du sicher aus der Schule. Diese elementargeometrischen Überlegungen sollte man trotz unserer formalen Einführung der trigonometrischen Funktionen mithilfe von Potenzreihen nicht ganz aus den Augen verlieren.

Des weiteren für uns wichtig sind Umkehrfunktionen zum Beispiel auch bei der Substitutionsregel für die Integration. Der Arkuskosinus wird in Beispiel 20.10 verwendet um die obere Hälfte der Kreisfläche zu berechnen.

Studentenfrage

How does reciprocal and inverse differ in terms of trigonometric functions?

Antwort

The inverse map to a bijective map ${}f\colon M\rightarrow N$ is the map ${}f^{-1}\colon N\rightarrow M$ such that ${}f^{-1}(y)$ is the unique element ${}x$ for which ${}f(x)=y$.

The reciprocal of a function ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ on the other hand is a function ${}g\colon J\subseteq I\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto {\frac {1}{f(x)}}$. This is of course only defined if ${}f(x)\neq 0$ for every ${}x\in J$. For example the reciprocal of the cosine is called the secant function and the reciprocal of the sine is called the cosecant function. I guess your confusion with the inverse functions comes because the values of the reciprocal functions are the inverses of the values of their counterparts. But the inverses of the values have nothing to do with the inverse of a function.

I think the names for these functions are not important, as you can just write ${}{\frac {1}{\cos x}}$ and ${}{\frac {1}{\sin x}}$ instead. The only reciprocal function we introduced is the cotangens ${}\cot x$ whose values are the inverses of the tangens. Maybe there is a merit to it, because it is zero where the tangens is not defined.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 16

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