Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Vorlesung 16

Ableitung von Potenzreihen

Viele wichtige Funktionen wie die Exponentialfunktion oder die trigonometrischen Funktionen werden durch eine Potenzreihe dargestellt. Der folgende Satz zeigt, dass diese Funktionen differenzierbar sind und ihre Ableitung durch diejenige Potenzreihe dargestellt wird, die sich durch gliedweises Ableiten ergibt.

Satz

Es sei

${}g(x):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$

eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall ${}]-r,r[$ konvergiere und dort die Funktion ${}f\colon ]-r,r[\rightarrow \mathbb {R}$ darstellt.

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

${}{\tilde {g}}(x):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}\,$

auf ${}]-r,r[$ konvergent. Die Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit

${}f'(x)={\tilde {g}}(x)\,.$

Beweis

Der Beweis erfordert ein genaues Studium von Potenzreihen.

$\Box$

Im Satz haben wir ${}g$ für die Potenzreihe und ${}f$ für die dadurch festgelegte Funktion geschrieben, um die Rollen deutlicher zu machen. Von nun an ist diese Unterscheidung nicht mehr nötig.

Korollar

Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion

ist auf ihrem Konvergenzintervall unendlich oft differenzierbar.

Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Satz 16.1.

$\Box$

Satz

Die Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

ist differenzierbar mit

${}\exp \!'(x)=\exp x\,.$

Beweis

Aufgrund von Satz 16.1 ist

${}{\begin{aligned}\exp \!'(x)&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {x^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}x^{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}x^{n-1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=\exp x.\end{aligned}}$

$\Box$

Satz

Die Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a^{x},$

zur Basis ${}a>0$

ist differenzierbar mit

${}{\left(a^{x}\right)}'={\left(\ln a\right)}a^{x}\,.$

Beweis

Nach Definition 12.15 ist

${}a^{x}=\exp \left(x\,\ln a\right)\,.$

Die Ableitung nach ${}x$ ist aufgrund von Satz 16.3 unter Verwendung der Kettenregel gleich

${}{\left(a^{x}\right)}'={\left(\exp \left(x\,\ln a\right)\right)}'={\left(\ln a\right)}\exp '(x\,\ln a)={\left(\ln a\right)}\exp \left(x\,\ln a\right)={\left(\ln a\right)}a^{x}\,.$

$\Box$

Bemerkung  

Bei einer reellen Exponentialfunktion

${}y(x)=a^{x}\,$

gilt nach Satz 16.4 die Beziehung

${}y'={\left(\ln a\right)}y\,,$

es besteht also ein proportionaler Zusammenhang zwischen der Funktion ${}y$ und ihrer Ableitung ${}y'$ mit dem Proportionalitätsfaktor ${}\ln a$. Dies gilt auch dann, wenn ${}a^{x}$ mit einer Konstanten multipliziert wird. Wenn man unter ${}y$ eine von der Zeit ${}x$ abhängige Größe versteht, so beschreibt ${}y'(x)$ das momentane Wachstum zu einem Zeitpunkt. Die Gleichung ${}y'={\left(\ln a\right)}y$ bedeutet dann, dass das momentane Wachstum in jedem Zeitpunkt proportional zur momentanen Größe ist. Ein solches Wachstum (bzw. Schrumpfung bei ${}a<1$ bzw. ${}\ln a<0$) kommt in der Natur bei einer Population dann vor, wenn es keine nennenswerte Nahrungskonkurrenz und vernachlässigbare Sterberaten gibt (die Anzahl der Mäuse ist dann proportional zur Anzahl der geborenen Mäuse). Eine Bedingung der Form

${}y'=by\,$

ist ein Beispiel für eine Differentialgleichung. Dies ist eine Gleichung für eine Funktion, die Bedingungen an die Ableitung der Funktion ausdrückt. Eine Lösung einer solchen Differentialgleichung ist eine differenzierbare Funktion, die diese Ableitungsbedingung erfüllt. Die Lösungen der zuletzt formulierten Differentialgleichung sind die Funktionen

${}y(x)=ce^{bx}\,.$

Wir werden uns im zweiten Semester mit Differentialgleichungen intensiv beschäftigen.

Korollar

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist

$\ln \!'\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}}.$

Beweis

Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir Satz 14.9 anwenden und erhalten mit Satz 16.3

${}\ln '(x)={\frac {1}{\exp '(\ln x)}}={\frac {1}{\exp(\ln x)}}={\frac {1}{x}}\,.$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\alpha \in \mathbb {R}$.

Dann ist die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{\alpha },$

differenzierbar und ihre Ableitung ist

${}f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

Beweis

Nach Definition 12.15 ist

${}x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.$

Die Ableitung nach ${}x$ ist aufgrund von Satz 16.3 und Korollar 16.6 unter Verwendung der Kettenregel gleich

${}{\left(x^{\alpha }\right)}'={\left(\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\right)}'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

$\Box$

Satz

Die Sinusfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

ist differenzierbar mit

${}\sin \!'(x)=\cos x\,$

und die

Kosinusfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

ist differenzierbar mit

${}\cos \!'(x)=-\sin x\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 16.4.

$\Box$

Satz

Die Tangensfunktion

$\mathbb {R} \setminus {\left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x,$

ist differenzierbar mit

${}\tan \!'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,$

und die Kotangensfunktion

$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cot x,$

ist differenzierbar mit

${}\cot \!'(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,.$

Beweis

Aufgrund der Quotientenregel, Satz 16.8 und der Kreisgleichung ergibt sich

${}{\begin{aligned}(\tan x)^{\prime }&={\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)}^{\prime }\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}.\end{aligned}}$

Das Argument für die Ableitung des Kotangens ist entsprechend.

$\Box$

Die Zahl ${}\pi$

Die Zahl ${}\pi$ ist der Flächeninhalt bzw. der halbe Kreisumfang eines Kreises mit Radius ${}1$. Um darauf eine präzise Definition dieser Zahl aufzubauen müsste man zuerst die Maßtheorie (bzw. die Länge von „krummen Kurven“) entwickeln. Auch die trigonometrischen Funktionen haben eine intuitive Interpretation am Einheitskreis, doch auch diese setzt das Konzept der Bogenlänge voraus. Ein alternativer Zugang ist es, die Zahl ${}\pi$ über analytische Eigenschaften der durch ihre Potenzreihen definierten Funktionen Sinus und Kosinus zu definieren und dann erst nach und nach die Beziehung zum Kreis herzustellen (siehe Beispiel 20.10 und Beispiel *****).

Lemma

Die Kosinusfunktion

besitzt im reellen Intervall ${}[0,2]$ genau eine Nullstelle.

Beweis

Wir betrachten die Kosinusreihe

${}\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\,.$

Für ${}x=0$ ist ${}\cos 0=1$. Für ${}x=2$ kann man geschickt klammern und erhält

${}{\begin{aligned}\cos 2&=1-{\frac {2^{2}}{2!}}+{\frac {2^{4}}{4!}}-{\frac {2^{6}}{6!}}+{\frac {2^{8}}{8!}}-\ldots \\&=1-{\frac {2^{2}}{2!}}{\left(1-{\frac {4}{3\cdot 4}}\right)}-{\frac {2^{6}}{6!}}{\left(1-{\frac {4}{7\cdot 8}}\right)}-\ldots \\&=1-2(2/3)-\ldots \\&\leq -1/3.\end{aligned}}$

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall.
Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die Ableitung des Kosinus, diese ist nach Satz 16.8

${}\cos 'x=-\sin x\,.$

Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall ${}]0,2[$ positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach Satz 15.7 im angegebenen Intervall streng fallend, sodass es nur eine Nullstelle gibt. Für ${}x\in {]0,2]}$ gilt

${}{\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \\&=x{\left(1-{\frac {x^{2}}{3!}}\right)}+{\frac {x^{5}}{5!}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{6\cdot 7}}\right)}+\ldots \\&\geq x{\left(1-{\frac {4}{3!}}\right)}+{\frac {x^{5}}{5!}}{\left(1-{\frac {4}{6\cdot 7}}\right)}+\ldots \\&\geq x/3\\&>0.\end{aligned}}$

$\Box$

Eine rationale Approximation der Zahl ${}\pi$ auf einem ${}\pi$-Pie.

Definition

Es sei ${}s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion aus dem Intervall ${}[0,2]$. Die Kreiszahl ${}\pi$ ist durch

${}\pi :=2s\,$

definiert.

Satz

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${}\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften.

1. Es ist ${}\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$ und ${}\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$ und ${}\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
3. Es ist ${}\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und ${}\sin \left(x+\pi /2\right)=\cos x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
4. Es ist ${}\cos 0=1$, ${}\cos \pi /2=0$, ${}\cos \pi =-1$, ${}\cos 3\pi /2=0$ und ${}\cos 2\pi =1$.
5. Es ist ${}\sin 0=0$, ${}\sin \pi /2=1$, ${}\sin \pi =0$, ${}\sin 3\pi /2=-1$ und ${}\sin 2\pi =0$.

Beweis

Aufgrund der Kreisgleichung

${}(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,$

ist ${}{\left(\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}=1$, also ist ${}\sin {\frac {\pi }{2}}=1$ wegen der Überlegung im Beweis zu Lemma 16.10. Daraus folgen mit den Additionstheoremen die in (3) angegebenen Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus, beispielsweise ist

${}\cos \left(z+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(z\right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)-\sin \left(z\right)\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin \left(z\right)\,.$

Es genügt daher, die Aussagen für den Kosinus zu beweisen. Alle Aussagen folgen dann aus der Definition von ${}\pi$ und aus (3).

$\Box$

Definition

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt periodisch mit Periode ${}L>0$, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(x+L)\,$

gilt.

Die beiden trigonometrischen Funktionen sind also periodische Funktionen mit der Periodenlänge ${}2\pi$.

Die inversen trigonometrischen Funktionen

Korollar

Die reelle Sinusfunktion

induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1],$

und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1].$

Beweis

Siehe Aufgabe 16.12.

$\Box$

Korollar

Die reelle Tangensfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

$]-\pi /2,\pi /2[\longrightarrow \mathbb {R} ,$

und die reelle Kotangensfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

$]0,\pi [\longrightarrow \mathbb {R} .$

Beweis

Siehe Aufgabe 16.13.

$\Box$

Aufgrund der Bijektivität von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens auf geeigneten Intervallen gibt es die folgenden Umkehrfunktionen.

Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

$[-1,1]\longrightarrow [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\,x\longmapsto \arcsin x,$

und heißt Arkussinus.

Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

$[-1,1]\longrightarrow [0,\pi ],\,x\longmapsto \arccos x,$

und heißt Arkuskosinus.

Der Arkustangens

Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Tangensfunktion ist

$\mathbb {R} \longrightarrow ]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[,\,x\longmapsto \arctan x,$

und heißt Arkustangens.

Der Arkuskotangens

Definition

Die Umkehrfunktion der reellen Kotangensfunktion ist

$\mathbb {R} \longrightarrow ]0,\pi [,\,x\longmapsto \operatorname {arccot} x,$

und heißt Arkuskotangens.

Satz

Die inversen trigonometrischen Funktionen besitzen die folgenden Ableitungen.

1. ${}{\left(\arcsin x\right)}'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$

2. ${}{\left(\arccos x\right)}'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$

3. ${}{\left(\arctan x\right)}'={\frac {1}{1+x^{2}}}\,.$

4. ${}{\left(\operatorname {arccot} x\right)}'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\,.$

Beweis

Für den Arkustangens gilt beispielsweise nach Satz 14.9

${}{\begin{aligned}(\arctan x)^{\prime }&={\frac {1}{\frac {1}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{\frac {\cos ^{2}(\arctan x)+\sin ^{2}(\arctan x)}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan x)}}\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}.\end{aligned}}$

$\Box$

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