Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesung 48/latex
\setcounter{section}{48}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller48.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Da der Wurf ziemlich groß war, und Vorli als letzte geboren wurde, bekam sie wenig Milch ab. Die prallen Zitzen waren immer schon von den Geschwistern besetzt. Eine Zeitlang stand es kritisch um sie und sie musste von Hand aufgezogen werden.} }
\bildlizenz { Waeller48.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\zwischenueberschrift{Totale Differenzierbarkeit}
Wir möchten Abbildungen
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen Vektorräumen differenzieren
\zusatzklammer {ohne auf eine Richtung Bezug zu nehmen} {} {,}
und allgemeiner Abbildungen
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine gewisse offene Teilmenge ist. Wir wiederholen kurz die Situation in einer Variablen: Angenommen wir haben eine Abbildung
\maabb {\varphi} {\R} {\R
} {,}
dann ist die Grundidee einer differenzierbaren Abbildung und ihrer Ableitung, eine \anfuehrung{Tangente an den Graphen}{} anzulegen. Dabei kann man sagen, dass die Tangente die beste \stichwort {lineare Approximation} {} von $\varphi$
\zusatzklammer {genauer: Der Graph einer affin-linearen Approximation} {} {}
in einem gegebenen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
darstellt. Da die Steigung der Tangente wieder eine reelle Zahl ist, wird beim Differenzieren jedem Punkt $x$ wieder eine Zahl zugeordnet. Wir erhalten also eine neue Funktion, welche wir mit $\varphi'$ bezeichnen. Im höherdimensionalen Fall ist dies komplizierter, aber die Idee einer bestmöglichen linearen Approximation bleibt bestehen.
Die Übereinstimmung der Konzepte wird auch deutlich, wenn man den Graphen einer Abbildung anschaut. Zu einer differenzierbaren Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
schmiegt sich die Tangente im Punkt
\mathl{(P,f(P))}{} an den Graphen zu $f$ an. Zu einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2 } {\R
} {}
ist der Graph eine Teilmenge von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R^2 \times \R
}
{ = }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
den man sich als ein Gebirge über der Ebene vorstellen sollte. Eine sinnvolle Fragestellung ist, ob es zu einem Punkt
\mathl{(P,f(P))}{} eine anschmiegende Tangentialebene an den Graphen zu $f$ gibt.
Im Folgenden nehmen wir an, dass alle Vektorräume endlichdimensional und mit einer euklidischen Norm versehen sind. Wie schon in Lemma 37.1 erwähnt wurde, hängt die Topologie, also die Konzepte offene Menge, Stetigkeit, Konvergenz, nicht von der gewählten euklidischen Struktur ab.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Surface integral1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Surface integral1.svg } {} {Cronholm144} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
eine Abbildung. Dann heißt $\varphi$ \definitionswort {differenzierbar}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {total differenzierbar}{}} {} {}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn es eine
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {L} {V} {W
} {}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi( P+v)
}
{ =} { \varphi(P)+ L(v) + \Vert {v} \Vert r(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, wobei
\maabb {r} { U { \left( 0,\delta \right) } } {W
} {}
eine in $0$
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und die Gleichung für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P+v
}
{ \in }{ U { \left( P,\delta \right) }
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
Diese lineare Abbildung $L$ heißt, falls sie existiert, das \definitionswort {(totale) Differential}{} von $\varphi$ an der Stelle $P$ und wird mit
\mathdisp {\left(D\varphi\right)_{P}} { }
bezeichnet.
}
Äquivalent zur totalen Differenzierbarkeit ist die Eigenschaft, dass der Ausdruck
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r(v)
}
{ =} { \frac{\varphi(P+v) - \varphi(P) -L(v)}{ \Vert {v} \Vert }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{v \rightarrow 0}{} gegen $0$ konvergiert. Ebenfalls äquivalent ist die Eigenschaft, dass der Limes
\zusatzklammer {von Funktionen} {} {}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0, v \neq 0 } \, \frac{ \Vert {\varphi(P+v)-\varphi(P)-L(v)} \Vert}{ \Vert {v} \Vert }} { }
existiert und gleich $0$ ist
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 37.7} {} {.}
Das Konzept der totalen Differenzierbarkeit ist eher theoretisch und weniger konkreten Berechnungen zugänglich. Wir werden später dieses Konzept mit dem Konzept der partiellen Ableitungen in Verbindung bringen, welches eher für Berechnungen geeignet ist, jedoch von Koordinaten, d.h. von der Auswahl einer Basis, abhängt \zusatzklammer {siehe auch Beispiel 49.7 in der nächsten Vorlesung} {} {.}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/R/Eindeutige Approximation/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und sei die Abbildung
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt.}
\faktfolgerung {Dann existiert höchstens eine lineare Abbildung mit den Eigenschaften aus
Definition *****. }
\faktzusatz {Ist $\varphi$ im Punkt $P$ differenzierbar, so ist das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} eindeutig bestimmt.}
\faktzusatz {}
}
{
Angenommen, es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(P+v)
}
{ =} { \varphi(P) + L_1(v) + \Vert {v} \Vert \cdot r_1(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(P+v)
}
{ =} { \varphi(P)+L_2(v) + \Vert {v} \Vert \cdot r_2(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit linearen Abbildungen $L_1$ und $L_2$ und mit im Punkt $0$ stetigen Funktionen
\maabb {r_1,r_2} { U { \left( 0,\delta \right) } } { W
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_1(0)
}
{ = }{ r_2(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir müssen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_1
}
{ = }{ L_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab
\zusatzklammer {da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum $W$ handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint} {} {}
und erhalten die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { (L_1-L_2)(v)+ \Vert {v} \Vert \cdot (r_1(v)-r_2(v))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher müssen wir zeigen, dass die
\zusatzklammer {konstante} {} {}
Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung $0$ ihre einzige lineare Approximation ist.
Wir nehmen daher an, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { L(v)+ \Vert {v} \Vert \cdot r(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wobei $L$ linear und $r$ eine in $0$ stetige Funktion mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wenn $L$ nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L(v)
}
{ = }{ w
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb R}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { L(sv)+ \Vert {sv} \Vert r(sv)
}
{ =} { sw + \betrag { s } \cdot \Vert {v} \Vert \cdot r(sv)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies impliziert, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r(sv)
}
{ = }{ - { \frac{ sw }{ \betrag { s } \cdot \Vert {v} \Vert } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Die Norm von
\mathl{r(sv)}{} ist daher konstant gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \Vert {w} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } }
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0 } \, \Vert {r(sv) } \Vert
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,} ein Widerspruch.
\inputbeispiel{}
{
Ist
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
konstant mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi (v)
}
{ = }{ w
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist $\varphi$ differenzierbar mit totalem Differential $0$
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 48.5} {} {.}
}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/R/Lineare Abbildungen sind differenzierbar/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\maabb {L} {V} {W
} {}
eine
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist $L$ in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und stimmt in jedem Punkt mit ihrem totalen Differential überein.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der Linearität gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(P+v)
}
{ =} { L(P)+L(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wählen.
Diese Aussage gilt auch für affin-lineare Abbildungen, also Abbildungen der Form
\maabbeledisp {\varphi} {V} {W
} {v} {L(v)+ w
} {,}
mit einer linearen Abbildung $L$ und einem festen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In diesem Fall ist das totale Differential gleich $L$.
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Simple paraboloid.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Simple paraboloid.png } {} {Babak. K. Shandiz} {Commons} {CC-by sa 4.0} {}
Wir zeigen direkt, dass die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} { x^2+y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{}
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist, und zwar mit der Nullabbildung als totales Differential. Dazu muss man nur zeigen, dass in der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f( (0,0) + (x,y))
}
{ =} {f(x,y)
}
{ =} { x^2+y^2
}
{ =} { f(0,0) + 0 \cdot (x,y) + \Vert {(x,y)} \Vert r(x,y)
}
{ =} { \Vert {(x,y)} \Vert r(x,y)
}
}
{}{}{}
die Funktion
\mathl{r(x,y)}{} die verlangten Eigenschaften besitzt. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {(x,y)} \Vert
}
{ = }{ \sqrt{x^2+y^2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r(x,y)
}
{ = }{ { \frac{ x^2+y^2 }{ \sqrt{x^2+y^2 } }}
}
{ = }{\sqrt{x^2+y^2}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und diese Funktion ist stetig im Nullpunkt mit dem Wert $0$.
}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbare Kurve/R/Total differenzierbar/Zusammenhang/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{,}
$W$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\gamma} {I} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\gamma$ genau dann in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {als Kurve differenzierbar}{}{,}
wenn $\gamma$ in $t$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist.}
\faktzusatz {In diesem Fall besteht die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma'(t)
}
{ =} { \left(D\gamma\right)_{t} (1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Die Kurvendifferenzierbarkeit im Punkt $t$ bedeutet nach
Definition 37.3
die Existenz des
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, \frac{\gamma (t+h) - \gamma (t)}{h}} { . }
Diese Existenz ist
\zusatzklammer {entsprechend
Satz 14.5} {} {}
dazu äquivalent, dass man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma (t+h)
}
{ =} { \gamma(t) +h w + h \cdot r(h)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer in $0$
\definitionsverweis {stetigen Abbildung}{}{}
$r$ mir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann
\zusatzklammer {wobei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{w
}
{ = }{\gamma'(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein muss} {} {.}
Dabei kann man hinten $h$ durch $\betrag { h }$ ersetzen
\zusatzklammer {wobei man auch $r(h)$ abwandeln muss} {} {.}
Diese lineare Approximierbarkeit ist aber die Definition der
\definitionsverweis {totalen Differenzierbarkeit}{}{,}
und zwar ist die lineare Abbildung durch
\maabbeledisp {} {\R} {W
} {h} {hw
} {,}
gegeben. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma'(t)
}
{ =} { w
}
{ =} { \left(D\gamma\right)_{t} (1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/R/Summe differenzierbarer Abbildungen ist differenzierbar/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es seien
\maabb {\varphi_1,\varphi_2} {G} {W
} {}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
differenzierbare Abbildungen mit den
\definitionsverweis {totalen Differentialen}{}{}
\mathl{\left(D\varphi_1\right)_{P}}{} und
\mathl{\left(D\varphi_2\right)_{P}}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \varphi_1 + \varphi_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $P$ differenzierbar und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(\varphi_1 + \varphi_2)\right)_{P}
}
{ =} { \left(D\varphi_1\right)_{P} + \left(D\varphi_2\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Ebenso gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(D(a \varphi_1)\right)_{P}
}
{ = }{ a \left(D\varphi_1\right)_{P}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb R}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_1(P+v)
}
{ = }{ \varphi_1(P)+L_1(v)+ \Vert {v} \Vert \cdot r_1(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_2(P+v)
}
{ = }{ \varphi_2(P) + L_2(v) + \Vert {v} \Vert \cdot r_2(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{(\varphi_1+\varphi_2) (P+v) \latexdruckdreikurz
}
{ =} { \latexdruckdreikurz \varphi_1(P+v) + \varphi_2(P+v)
}
{ =} { \latexdruckdreikurz \varphi_1(P) + \latexdruckeinskurz L_1(v) + \latexdruckeinskurz \Vert {v} \Vert \cdot r_1(v) + \latexdruckeinskurz \varphi_2(P) + \latexdruckeinskurz L_2(v) + \latexdruckeinskurz \Vert {v} \Vert \cdot r_2(v)
}
{ =} { \latexdruckdreikurz (\varphi_1 + \varphi_2)(P) + (L_1 +L_2)(v)+ \Vert {v} \Vert (r_1(v) +r_2(v))
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wir erhalten also die gewünschte Gestalt, da auch
\mathl{r_1 + r_2}{} in $0$ stetig mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (r_1+r_2)(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Der Beweis der zweiten Aussage ist ähnlich.
\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/R/Differenzierbar impliziert stetig/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ auch
\definitionsverweis {stetig}{}{}
im Punkt $P$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach Definition gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P+v)
}
{ = }{ \varphi(P)+L(v)+ \Vert {v} \Vert \cdot r(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Die rechte Seite ist stetig
\zusatzklammer {nach
Definition 48.1
und
Satz 36.10} {} {}
in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist $\varphi$ stetig in $P$.
\zwischenueberschrift{Totale Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen}
Im Folgenden wollen wir den Zusammenhang zwischen Richtungsableitungen, partiellen Ableitungen und dem totalen Differential verstehen. Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit.
\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und}
\faktvoraussetzung {\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
eine im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ in $P$ in jede Richtung $v$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{,}
und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} \varphi \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
von $V$ nach $W$ ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen Vektor in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) }
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Voraussetzung haben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(P+v)
}
{ =} { \varphi(P)+ { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } + \Vert {v} \Vert \cdot r(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit den
\definitionsverweis {üblichen Bedingungen}{}{}
an $r$} {} {.}
Insbesondere gilt für
\zusatzklammer {hinreichend kleines} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb R}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(P+sv)
}
{ =} { \varphi(P)+ s { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } + \betrag { s } \cdot \Vert {v} \Vert \cdot r(sv)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0, s\neq 0 } \, \frac{\varphi(P + sv) - \varphi(P) } { s }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0, s\neq 0 } \, \frac{ s { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } + \betrag { s } \cdot \Vert {v} \Vert \cdot r(sv) } { s }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0, s\neq 0 } \, \left( { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } + { \frac{ \betrag { s } }{ s } } \Vert {v} \Vert \cdot r(sv) \right)
}
{ =} { { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) }
}
{ } {}
}
{}
{}{,}
da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0 } \, r(sv)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Ausdruck
\mathl{{ \frac{ \betrag { s } }{ s } } \Vert {v} \Vert}{} beschränkt ist.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und
\maabb {f} {G} {\R^m
} {}
eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{.}
Dann existieren
nach Proposition 48.9
und nach Lemma 47.3
die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ \partial f_j }{ \partial x_i } }} { }
Die Benennung der Dimensionen und der Indizes bei höherdimensionalen Abbildungen und insbesondere bei der Jacobimatrix ist ein gewisses Problem, was auch schon in der linearen Algebra auftritt. Für eine Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^\text{Dimension des ersten Raumes} } { \R^\text{Dimension des zweiten Raumes}
} {}
ist es naheliegend, die erste Dimension links mit einem im Alphabet früheren Buchstaben als die zweite Dimension zu bezeichnen, also etwa
\maabb {} {\R^a} { \R^b
} {}
oder
\maabb {} {\R^d} { \R^e
} {}
oder
\maabb {} {\R^m} { \R^n
} {.}
Diese Reihenfolge überträgt sich sinnvollerweise auf Objekte, die mit dem ersten bzw. dem zweiten Raum verbunden sind, man spricht dann von der Standardbasis
\mathbed {e_i} {}
{1 \leq i \leq a} {}
{} {} {} {,}
links und der Standardbasis
\mathbed {e_j} {}
{1 \leq j \leq b} {}
{} {} {} {,}
rechts, bezeichnet die Variablen links mit
\mathbed {x_i} {}
{1 \leq i \leq a} {}
{} {} {} {,}
und rechts mit
\mathbed {y_j} {}
{1 \leq j \leq b} {}
{} {} {} {,}
und die Komponentenfunktionen zu $\varphi$ bezeichnet man mit
\mathbed {\varphi_j} {}
{1 \leq j \leq b} {}
{} {} {} {.}
Diese Bezeichnungsphilosophie beißt sich allerdings mit den Bezeichungen für Matrizen. Bei einer Matrix sagt man die Anzahl der Zeilen zuerst und dann die Anzahl der Spalten, man spricht von einer Zeilenanzahl x Spaltenanzahl-Matrix und gemäß dieser Reihenfolge werden auch die Einträge benannt. Der Eintrag
\mathl{a_{3,5}}{} ist in der dritten Zeile und der fünften Spalte der Matrix. Nun wird aber eine lineare Abbildung durch eine Matrix beschrieben, deren Spaltenanzahl wegen \anfuehrung{Zeile mal Spalte}{} mit der Dimension des ersten Raumes übereinstimmt. Hier liegen also verschiedene Reihenfolgen vor, und dies ist der Grund, warum eine gewählte Bezeichnung nie völlig überzeugend ist. Bei einer partiell differenzierbaren Abbildung sollten die Bezeichnungen für die Indizes der Komponentenfunktionen zu den Bezeichnungen der Jacobimatrix passen.
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial f_{1} }{ \partial x_{n} } } (P) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial f_{m} }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial f_{m} }{ \partial x_{n} } } (P) \end{pmatrix}} { . }
Diese Matrix beschreibt das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
bezüglich der Standardbasen im
\mathkor {} {\R^n} {und} {\R^m} {.}
Es ist ja nach
Proposition 48.9
und
Lemma 47.3
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( Df \right) }_{P} { \left( e_i \right) }
}
{ =} { { \left( D_{e_i} f \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_i } } (P) \\ \vdots \\ { \frac{ \partial f_m }{ \partial x_i } } (P) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dies ist die $i$-te Spalte der Jacobimatrix. Durch diese Eigenschaft ist aber die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis festgelegt.
}
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb R}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und
\maabb {\varphi} {G} {{\mathbb R}^m
} {}
eine Abbildung. Es seien
\mathbed {x_i} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
die Koordinaten von ${\mathbb R}^n$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt.}
\faktvoraussetzung {Es sei angenommen, dass alle
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
von $\varphi$ in einer
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
von $P$ existieren und in $P$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind.}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ in $P$
\definitionsverweis {(total) differenzierbar}{}{.}}
\faktzusatz {Ist die Abbildung $\varphi$ bezüglich der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
des ${\mathbb R}^m$ durch die
\definitionsverweis {Koordinatenfunktionen}{}{}
\mathl{f_1 , \ldots , f_m}{} gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in $P$ durch die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
\mathdisp {{ \left( { \frac{ \partial f_j }{ \partial x_i } } (P) \right) }_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}} { }
beschrieben.}
\faktzusatz {}
}
{
Indem wir $G$ durch eine eventuell kleinere offene Umgebung von $P$ ersetzen, können wir annehmen, dass auf $G$ die Richtungsableitungen
\mathdisp {Q \longmapsto (D_i \varphi)(Q) \defeq { \left( D_{e_i } \varphi \right) } { \left( Q \right) } = \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_i } } (Q) \\\vdots\\ { \frac{ \partial f_m }{ \partial x_i } } (Q) \end{pmatrix} \in {\mathbb R}^m} { }
existieren und in $P$ stetig sind. Daher ist nach
Proposition 48.9
die lineare Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb R}^n } { {\mathbb R}^m
} {v = (v_1 , \ldots , v_n) } { \sum_{i = 1}^n v_i (D_i\varphi)(P)
} {,}
der einzige Kandidat für das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{.}
Daher müssen wir zeigen, dass diese
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
die
\definitionsverweis {definierende Eigenschaft}{}{}
des totalen Differentials besitzt. Setze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_i
}
{ \defeq }{P+ v_1 e_1 + \cdots + v_i e_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {abhängig von $v$} {} {.}
Dann gelten mit dem Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r(v)
}
{ \defeq} { { \frac{ \varphi(P+v) - \varphi(P) - \sum_{i = 1}^n v_i(D_i(\varphi))(P) }{ \Vert {v} \Vert } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für $v$ hinreichend klein} {} {}
die Abschätzungen
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert {r(v)} \Vert
}
{ =} { { \frac{ \Vert {\varphi(P+v) - \varphi(P) - \sum_{i = 1}^n v_i(D_i(\varphi))(P)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } }
}
{ =} { { \frac{ \Vert {\sum_{i = 1}^n (\varphi(P_i) - \varphi(P_{i-1}) - v_i (D_i(\varphi))(P))} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } }
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n { \frac{ \Vert {\varphi(P_i) - \varphi(P_{i-1}) - v_i (D_i(\varphi))(P)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n { \frac{ \Vert {\varphi(P_{i-1} + v_i e_i) - \varphi(P_{i-1}) - v_i (D_i(\varphi))(P)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } }
}
}
{}
{}{.}
Wir betrachten jeden Summanden einzeln. Für fixiertes $i$ ist die Abbildung
\zusatzklammer {die auf dem Einheitsintervall definiert ist} {} {}
\mathdisp {h_i: s \longmapsto \varphi(P_{i-1} + s v_i e_i) - s v_i (D_i(\varphi))(P)} { }
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
\zusatzklammer {aufgrund der Existenz der partiellen Ableitungen auf $G$} {} {}
mit der Ableitung
\mathdisp {s \longmapsto v_i (D_i(\varphi))(P_{i-1} + s v_i e_i) - v_i(D_i(\varphi))(P)} { . }
Nach der
Mittelwertabschätzung
existiert eine reelle Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} { c_i
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass
\zusatzklammer {dies ist die Norm von \mathlk{h_i(1)-h_i(0)}{}} {} {}
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \Vert {\varphi(P_{i-1} + v_i e_i)-\varphi(P_{i-1}) - v_i (D_i(\varphi))(P)} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v_i (D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - v_i (D_i(\varphi))(P)} \Vert
}
{ =} { \betrag { v_i } \cdot \Vert { (D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - (D_i(\varphi))(P)} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert { (D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - (D_i(\varphi))(P)} \Vert
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Aufsummieren liefert also, dass unser Ausdruck
\mathl{\Vert {r(v)} \Vert}{} nach oben
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist durch
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \sum_{i = 1}^n { \frac{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {(D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - (D_i(\varphi))(P)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } }
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \Vert {(D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - (D_i(\varphi))(P)} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die partiellen Ableitungen
\mathl{D_i(\varphi)}{} stetig in $P$ sind, wird die Summe rechts mit $v$ beliebig klein, da dann
\mathl{P_{i-1} + c_iv_i e_i}{} gegen $P$ konvergiert. Also ist der Grenzwert für
\mathl{v \rightarrow 0}{} gleich $0$.
\inputfaktbeweis
{Polynomfunktionen/R/Total differenzierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {Polynomfunktionen}{}{}}
\faktfolgerung {sind
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 48.11 und daraus, dass die partiellen Ableitungen von Polynomfunktionen wieder Polynomfunktionen sind, die nach Satz 36.13 \definitionsverweis {stetig}{}{} sind.