Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 43/latex
\setcounter{section}{43}
\zwischenueberschrift{Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten - Lösungsverfahren}
Es sei eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gegeben, d.h.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer konstanten Matrix
\mathdisp {M= \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\
a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n 1 } & a_{ n 2 } & \ldots & a_{ n n } \end{pmatrix} \text{ mit } a_{ij} \in {\mathbb K}} { . }
Wir lassen hier also auch den Fall zu, dass die Einträge komplexe Zahlen sind. Beim Auffinden der Lösungen zu einer reellen Matrix ist es nämlich hilfreich, die reellen Zahlen als komplexe Zahlen aufzufassen, um dort Umformungen durchzuführen, die im Reellen nicht möglich sind. Die Lösungen werden aber nach wie vor auf reellen Intervallen definiert sein. Wir erwähnen einige Rechenregeln für differenzierbare Abbildungen
\maabbdisp {f} {I} {{\mathbb C}^n
} {,}
\zusatzklammer {$I$ ist ein reelles Intervall oder eine offene Teilmenge von ${\mathbb C}$} {} {}
die bei der Berechnung von Differentialgleichungen zum Zuge kommen. Zunächst lässt sich die reelle Exponentialfunktion
\mathl{e^x}{}
\zusatzklammer {unter Verwendung der Exponentialreihe} {} {}
zu einer Funktion
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {e^z
} {,}
ausdehnen. Diese ist komplex-differenzierbar, und zwar ist die Ableitung wieder die Exponentialfunktion selbst. Für eine komplexe Zahl $u$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( e^{uz} \right) }^{\prime}
}
{ = }{ u e^{uz}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen besteht der Zusammenhang
\zusatzklammer {die \stichwort {Eulersche Formel} {}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{ { \mathrm i} t}
}
{ =} { \cos t + { \mathrm i} \sin t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wobei $t$ reell oder komplex sein kann} {} {.}
Ausgeschrieben liegt also das Differentialgleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v'_1 \\\vdots\\ v'_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11}v_1 + \cdots + a_{1n}v_n \\\vdots\\ a_{n1}v_1 + \cdots + a_{nn}v_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor. Solche Systeme lassen sich mit Hilfe der linearen Algebra auf eine Folge von inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen zurückführen und damit sukzessive lösen. Das folgende einfache Lemma gibt bereits einen deutlichen Hinweis dadrauf, dass lineare Eigenschaften der Matrix $M$ eng mit den Lösungen des Differentialgleichungssystems zusammenhängen.
\inputfaktbeweis
{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{}}
\faktvoraussetzung {und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{{\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $M$ zum Eigenwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {v} { \R } { {\mathbb K}^n
} {t} { c e^{\lambda t} u = c \begin{pmatrix} e^{\lambda t} u_1 \\ \vdots\\ e^{\lambda t} u_n \end{pmatrix}
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{c
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
dieses
\definitionsverweis {Differentialgleichungssystems}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ v'(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} ce^{\lambda t} u_1 \\\vdots\\ ce^{\lambda t} u_n \end{pmatrix} '
}
{ =} { \begin{pmatrix} ( ce^{\lambda t} u_1)' \\\vdots\\ ( ce^{\lambda t} u_n )' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \lambda c e^{\lambda t} u_1 \\\vdots\\ \lambda ce^{\lambda t} u_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \lambda c e^{\lambda t} \begin{pmatrix} u_1 \\\vdots\\ u_n \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { M { \left( c e^{\lambda t} \begin{pmatrix} u_1 \\\vdots\\ u_n \end{pmatrix} \right) }
}
{ =} { M \begin{pmatrix} ce^{\lambda t} u_1 \\\vdots\\ ce^{\lambda t} u_n \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{.} Dann nennt man das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det { \left( t E_n - M \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auch das
\definitionswort {charakteristische Polynom}{}
der Differentialgleichung.
}
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind nach Satz 28.2 \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} von $M$ und liefern somit nach Lemma 43.1 Lösungen des Differentialgleichungssystems.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' +a_0 y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung}{}{}
mit konstanten Koeffizienten und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das zugehörige System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, also mit der Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & \ldots & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 & 1\\
-a_{0} & -a_1 & \ldots & \ldots & -a_{n-2} & -a_{n-1}
\end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das zu dieser Matrix gehörige charakteristische Polynom ist
nach Aufgabe 28.6
gleich
\mathdisp {X^n +a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X+a_0} { . }
D.h. man kann dieses Polynom direkt aus der eingangs gegebenen Differentialgleichung höherer Ordnung ablesen.
}
\inputbeispiel{}
{
Zu einer linearen
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
mit konstanten Koeffizienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime} +a_1 y^\prime + a_0 y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
gleich
\mathdisp {t^2 +a_1t+a_0} { . }
Dessen Nullstellen sind einfach zu bestimmen, es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t_{1,2}
}
{ =} { - { \frac{ a_1 }{ 2 } } \pm \sqrt{ { \frac{ a_1^2 }{ 4 } } -a_0 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} Nun untersuchen wir systematisch, wie man Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten löst.
\inputfaktbeweis
{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{,} es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { BMB^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\maabbeledisp {v} {\R} { {\mathbb K} ^n
} {t} {v(t)
} {,}
genau dann eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v'
}
{ = }{Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ Bv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w'
}
{ = }{ Nw
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Lemma 42.1,
wir geben noch einen zweiten Beweis.
Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dann gelten für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{Bv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ (b_{ij})_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ w'(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} w_1'(t) \\\vdots\\ w_n'(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} (b_{11} v_1(t) + \cdots + b_{1n}v_n(t))' \\\vdots\\ (b_{n1} v_1(t) + \cdots + b_{nn} v_n(t))' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} b_{11} v'_1(t) + \cdots + b_{1n}v'_n(t) \\\vdots\\ b_{n1} v'_1(t) + \cdots + b_{nn} v'_n(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { B \begin{pmatrix} v_1'(t) \\\vdots\\ v_n'(t) \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { BM \begin{pmatrix} v_1(t) \\\vdots\\ v_n(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { BMB^{-1} \begin{pmatrix} w_1(t) \\\vdots\\ w_n(t) \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
sodass $w$ die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w'
}
{ =} {Nw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
löst. Die inverse Transformation zeigt, dass zu einer Lösung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w'
}
{ = }{ Nw
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\mathl{B^{-1}w}{} eine Lösung für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v'
}
{ = }{Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\inputfaktbeweis
{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb C})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb C})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem
\mathdisp {w'=Nw \text{ mit } N=BMB^{-1}} { }
obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} w'_1 \\w'_2\\ \vdots\\w'_{n-1}\\ w_n' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ 0 & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & c_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1 \\w_2\\ \vdots\\w_{n-1}\\ w_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c_{ij}
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ist.}
\faktzusatz {Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem
Lösungsverfahren
für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_i(t_0)
}
{ = }{ a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Satz 28.16
ist die Matrix $M$
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{,}
d.h. es gibt eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb C})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N
}
{ =} { BMB^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {obere Dreiecksgestalt}{}{}
besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w'
}
{ = }{ Nw
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen
Lemma 43.5
äquivalent zum ursprünglichen System. Die letzte Zeile des neuen Systems, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w_n'
}
{ =} { c_{n n} w_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ist eine lineare Differentialgleichung in einer Variablen, ihre Lösungen sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w_n(t)
}
{ = }{ a e^{c_{n n}t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die zweitletzte Zeile ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w_{n-1}'
}
{ =} { c_{n-1 \, n-1} w_{n-1} + c_{n-1 \, n}w_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
worin man die Lösung für $w_n$ einsetzen kann. Dann erhält man eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung in der einen Variablen
\mathl{w_{n-1}}{,} die man mit dem angegebenen
Lösungsverfahren
lösen kann. Für die drittletzte Zeile sind dann
\mathkor {} {w_{n-1}} {und} {w_n} {}
schon bekannt und dies führt wieder zu einer inhomogenen linearen Differentialgleichung für
\mathl{w_{n-2}}{.} So erhält man sukzessive eine Gesamtlösung
\mathl{(w_1 , \ldots , w_n)}{.}
\teilbeweis {}{}{}
{Eine Anfangsbedingung für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v'
}
{ = }{Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w'
}
{ = }{Nw
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils eindeutig sind.}
{}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } (\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{} und es sei
\maabbdisp {z} {\R} { {\mathbb C}^n} {}
eine komplexwertige Lösung dieser Differentialgleichung. Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z(t)
}
{ = }{ u(t) + { \mathrm i} v(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{u,v}{} differenzierbare Kurven im $\R^n$ sind, und die Real- bzw. Imaginärteil der Funktion heißen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\overline{z}(t)
}
{ =} { u(t) - { \mathrm i} v(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {konjugiert-komplexe}{}{}
Funktion zu $z$. Dann ist wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \overline{z(t)}
}
{ =} { \overline{M} \overline{z(t)}
}
{ =} { \overline{z'(t)}
}
{ =} { \overline{z}'(t)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auch $\overline{z}$ eine Lösungsfunktion. Wegen
\mathdisp {u(t) = { \frac{ z(t)+ \overline{z} (t) }{ 2 } } \text{ und } v(t) = { \frac{ z(t)- \overline{z} (t) }{ 2 { \mathrm i} } }} { }
sind auch Real- und Imaginärteil von $z$ Lösungsfunktionen
\zusatzklammer {und zwar reellwertige} {} {.}
}
\inputfaktbeweis
{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/R/Lösbarkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } (\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mathbed {v(t_0)=u \in \R^n} {}
{t_0 \in \R} {}
{} {} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es genau eine auf $\R$ definierte
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
\maabbdisp {v} {\R} {\R^n
} {}
für dieses Anfangswertproblem.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Satz 43.6
gibt es eine eindeutige komplexwertige Lösung
\maabbdisp {v} {\R} {{\mathbb C}^n
} {}
für dieses Differentialgleichungssystem. Da eine reellwertige Lösung insbesondere eine komplexwertige Lösung ist, liegt Eindeutigkeit vor. Der
\definitionsverweis {Realteil}{}{}
der komplexen Lösung, also
\maabbeledisp {\operatorname{Re} \, { \left( v \right) }} {\R} {\R^n
} {t} {
\operatorname{Re} \, { \left( v(t) \right) }
} {,}
ist ebenfalls eine Lösung dieses Systems. Wegen der Eindeutigkeit muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( v \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein.
\inputfaktbeweis
{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/K/Lösungsraum hat Dimension/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Menge der
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { \R } { {\mathbb K}^n
} {}
ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dass der Lösungsraum ein ${\mathbb K}$-Vektorraum ist, kann man direkt nachrechnen. Aufgrund von
Satz 43.6
bzw.
Satz 43.8
gibt es zu jedem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau eine Lösung
\maabbdisp {\varphi} { \R } { {\mathbb K}^n
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(0)
}
{ =} {w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Zuordnung, die eine Lösung $\varphi$ der Differentialgleichung auf den Ortspunkt $\varphi(0)$ abbildet, ist linear, sodass eine
\definitionsverweis {lineare Isomorphie}{}{}
zwischen dem Lösungsraum und ${\mathbb K}^n$ vorliegt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{.} Dann heißt eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des Lösungsraumes ein \definitionswort {Fundamentalsystem von Lösungen}{} dieses Systems.
}
\inputfaktbeweis
{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Diagonalisierbar/Lösbarkeit/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Die Matrix $M$ sei
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} mit den linear unabhängigen Eigenvektoren
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich
\mathdisp {{ \left\{ c_1e^{ \lambda_1 t } \cdot u_1 + \cdots + c_n e^{ \lambda_n t } \cdot u_n \mid c_i \in {\mathbb K} \right\} }} { , }
wobei $\lambda_i$ der Eigenwert zu $u_i$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 43.1 und aus Korollar 43.9.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} \lambda & \gamma \\ 0 & \mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_2(t)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {also die konstante Nullfunktion in der zweiten Komponente} {} {}
ergibt sich aus der ersten Zeile
\zusatzklammer {bis auf skalare Vielfache} {} {}
sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{e^{\lambda t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was insgesamt der Lösung
\zusatzklammer {der ersten Fundamentallösung} {} {}
\mathdisp {\begin{pmatrix} e^{\lambda t} \\0 \end{pmatrix}} { }
zum Eigenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}}{} gemäß
Lemma 43.1
entspricht.
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_2
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann führt die zweite Zeile zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_2
}
{ = }{ e^{\mu t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was wir
Satz 43.6
entsprechend zu einer Gesamtlösung fortsetzen. Die erste Zeile lautet somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1'
}
{ =} { \lambda v_1 + \gamma e^{\mu t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösung der
\definitionsverweis {zugehörigen homogenen Gleichung}{}{}
ist
\mathl{c \cdot e^{\lambda t}}{,} sodass sich mit der
Variation der Konstanten
der Ansatz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1(t)
}
{ = }{c(t) \cdot e^{\lambda t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c'(t)
}
{ =} { \gamma \cdot e^{\mu t} \cdot e^{- \lambda t}
}
{ =} { \gamma \cdot e^{( \mu- \lambda) t}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu
}
{ = }{ \lambda
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c(t)
}
{ = }{ \gamma t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit die zweite Fundamentallösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} \gamma t e^{\lambda t} \\e^{\lambda t} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört diese zweite Lösung nicht zu einem Eigenvektor.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu
}
{ \neq }{ \lambda
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c(t)
}
{ = }{ { \frac{ \gamma }{ \mu - \lambda } } e^{(\mu - \lambda)t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit die zweite Fundamentallösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \gamma }{ \mu - \lambda } } e^{\mu t} \\e^{\mu t} \end{pmatrix}
}
{ =} { e^{\mu t} \begin{pmatrix} { \frac{ \gamma }{ \mu - \lambda } } \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist wieder eine Lösung, die zu einem Eigenvektor gehört.
}
Das folgende Beispiel knüpft an Beispiel 41.2 an.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf der Geraden, wobei die Lage des Punktes proportional zur auf ihn wirkenden Kraft
\zusatzklammer {bzw. Beschleunigung} {} {}
in Richtung des Nullpunkts sein soll. Wenn der Punkt sich in $\R_+$ befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante $1$ gelangt man zur
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {zweiter Ordnung} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { -y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir
\mathkor {} {y(0)=0} {und} {y'(0)=v} {,}
zum Zeitpunkt $0$ soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit $v$ besitzen. Man kann sofort die Lösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { v \cdot \sin t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angeben. Wir werden diese Lösung mit den Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen herleiten. Die Differentialgleichung führt zum linearen Differentialgleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} y_0' \\y_1' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} y_1 \\-y_0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_0 \\y_1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+1
}
{ =} {(x- { \mathrm i} ) (x+ { \mathrm i} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und Eigenvektoren sind
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\ { \mathrm i} \end{pmatrix}}{}
\zusatzklammer {zum Eigenwert ${ \mathrm i}$} {} {}
und
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\- { \mathrm i} \end{pmatrix}}{}
\zusatzklammer {zum Eigenwert $- { \mathrm i}$} {} {.}
Die
\definitionsverweis {allgemeine komplexe Lösung}{}{}
ist also nach
Korollar 43.11
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} y_0(t) \\y_1(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { c_1 e^{ { \mathrm i} t} \begin{pmatrix} 1 \\ { \mathrm i} \end{pmatrix} +c_2 e^{- { \mathrm i} t} \begin{pmatrix} 1 \\- { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei letztlich nur der Realteil der ersten Zeile interessiert. Die Anfangsbedingung führt zu
\mathdisp {c_1+c_2 = 0 \text{ und } c_1 { \mathrm i} - c_2 { \mathrm i} = v} { . }
Also ist
\mathkor {} {c_2=-c_1} {und} {c_1 = \frac{v}{2 { \mathrm i} }} {.}
Daher ist die Lösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{v}{2 { \mathrm i} } e^{ { \mathrm i} t} - \frac{v}{2 { \mathrm i} } e^{- { \mathrm i} t}
}
{ =} { v \cdot \sin t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Bemerkung 43.7.
}
Mit den linearen Methoden kann man auch die folgende Aussage beweisen.
\inputfakt{Gewöhnliche Differentialgleichung/Höhere Ordnung/Charakteristisches Polynom zerfällt/Fundamentalsystem/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' +a_0 y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung}{}{}
mit konstanten Koeffizienten und}
\faktvoraussetzung {das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zerfalle in Linearfaktoren,
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P
}
{ =} {X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1X +a_0
}
{ =} {(X- \lambda_1)^{\nu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\nu_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
wobei die $\lambda_i$ verschieden seien.}
\faktfolgerung {Dann bilden die Funktionen
\mathdisp {t^{j} e^{ \lambda_i t} ,\, i=1 , \ldots , k,\, j=0 , \ldots , \nu_i -1,} { }
ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}