Kurs:Mathematik für Anwender I/4/Klausur
Aufgabe * (4 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine injektive Abbildung
- Eine surjektive Abbildung
- Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).
- Der Kern einer linearen Abbildung
zwischen zwei -Vektorräumen und .
- Der Limes (oder Grenzwert) einer reellen Folge .
- Die Stetigkeit einer
Abbildung
in einem Punkt .
- Die eulersche Zahl .
- Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
Aufgabe * (4 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Injektivitätskriterium für lineare Abbildungen.
- Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
- Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
- Die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
Aufgabe * (3 Punkte)
Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige durch Induktion über , dass es zu natürlichen Zahlen mit natürliche Zahlen mit und mit
gibt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien die beiden komplexen Polynome
gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei die durch die Matrix (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basis und .
Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung.
a) Zeige, dass der Kern von ein Untervektorraum von ist.
b) Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
Aufgabe * (4 Punkte)
a) Bestimme, ob die komplexe Matrix
invertierbar ist.
b) Finde eine Lösung für das
inhomogene lineare Gleichungssystem
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme eine Stammfunktion von .
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (6 Punkte)
a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
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