Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen

Modellierungsproblem

Einführung

Es werden Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexeren überlagerten Kurven im $\mathbb {R} ^{3}$ beschrieben.

Modellbeschreibung

Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde, mathematisch beschrieben

Ziel der Modellierung

Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im $\mathbb {R} ^{2}$ z.B. Zykloide einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im $\mathbb {R} ^{3}$ erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können.

Zielgruppe der Modellbildung

• Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht.

Mehrwert der Modellbildung

• Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im $\mathbb {R} ^{2}$ verwenden zu können.

Gruppenmitglieder

• Ritze Ben

Wiki2Reveal

• Planetenbahnen - Einführung - (Foliensatz)
• Mathematische Grundlagen-Sek 1 - (Foliensatz)
• Mathematische Grundlagen-Sek 2 - (Foliensatz)
• Mathematische Grundlagen - Uni Niveau - (Foliensatz)
• Planetenbewegung in Blender - (Foliensatz)
• Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra - (Foliensatz)
• Visualisierung des Sonnensystems in Blender - (Foliensatz)
• Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen - (Foliensatz)
• Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen - (Foliensatz)
• Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen - (Foliensatz)

• Bewertung der Modellbildung
• Modellierungszyklen

Modellierungszyklen

Modellbildungszyklus

In den Modellierungszyklen wird schrittweise

• modelliert,
• bewertet und
• ein Optimierungsvorschlag gemacht,

der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.

Einführung

Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion.

Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert.

Darstellung des Sonnensystems in Blender

Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet.

Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung.

Animation des Sonnensystems in Blender

Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen

Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen.

So beschreibt die Funktion $f$:[0;2π] → $\mathbb {R} ^{2}$ ,$t$→$(5\cdot cos(t),5\cdot sin(t))$ einen Kreis:

Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: $g$: [0;2π] → $\mathbb {R} ^{2}$ , $t$→$(cos(10t),sin(10t))$. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu $f(t)$ verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält $f(t)+g(t)=(5\cdot cos(t)+cos(10\cdot t),5\cdot sin(t)+sin(10\cdot t))$.

Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform.

Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt:

Bewertung

• Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt
• Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn
• Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet.

Optimierung

• Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen.
• Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres.
• Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres.

Einführung

Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert.

Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen

Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen.

Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: $f(x)={\begin{pmatrix}10\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\10\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\0\end{pmatrix}}$

Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 $\pi$ 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n].

Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion $g(x)={\begin{pmatrix}0\\cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$ zu $f(x)$
addiert.
Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich $sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)$ mit 6 multtipliziert, also $6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)$.
$g(x)+f(x)={\begin{pmatrix}10\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+10\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$

Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn $t(x)={\begin{pmatrix}5\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\5\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\0\end{pmatrix}}$, hierzu addiert man die Funktion $h(x)={\begin{pmatrix}5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\0\end{pmatrix}}$, welche die Rotation um die Erde beschreibt. Sie beschreibt einen Kreis mit dem Radius 5, der 13,4 Mal innerhalb des Intervalls [0;1] um das Zentrum rotiert. $h(x)+t(x)={\begin{pmatrix}5\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\5\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\0\end{pmatrix}}$

Drehungen Mond um Erde innerhalb eines Jahres

Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man $f(x),g(x),t(x),h(x)$ addieren.

$f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)={\begin{pmatrix}15\cdot cos(x)+5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\15\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$

Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der $x_{3}$ -Ebene beschreibt.

Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)

Feinere Diskretisierung des Mondorbits in Maxima- Grid(100)

Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben

Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht.

 f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)]
plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot])$

Wenn man die Diskretisierung verfeinern will, um eine Abbildung so wie in Geogebra zu erhalten, muss man den Grid-Parameter anpassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter auf 100 gesetzt.

plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot],
[grid,100,30])$

Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn

Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden.

Bewertung

• Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4.
• Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist.

Optimierung

Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen.

Einführung

Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes.

Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen

Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: $R_{z}(\phi )={\begin{pmatrix}cos(\phi )&0&sin(\phi )\\0&1&0\\-sin(\phi )&0&cos(\phi )\end{pmatrix}}$ Hierbei ist $\phi$ der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist $\phi$ = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: $x={\frac {\alpha }{180}}\cdot \pi$. $\alpha$ ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für $\alpha$ ein. $x={\frac {5}{180}}\cdot \pi$ ≈ $0,09075$

Jetzt setzt man 0,09075 in $R_{y}(\phi )$ ein. $R_{y}(\phi )={\begin{pmatrix}cos(\phi )&0&sin(\phi )\\0&1&0\\-sin(\phi )&0&cos(\phi )\end{pmatrix}}$ $R_{y}(0,09075)={\begin{pmatrix}cos(0,09075)&0&sin(0,09075)\\0&1&0\\-sin(0,09075)&0&cos(0,09075)\end{pmatrix}}$ ≈ ${\begin{pmatrix}1&0&0,091\\0&1&0\\-0,091&0&1\end{pmatrix}}$

Jetzt multipliziert man die Matrix $R_{z}(0.0975)$≈ ${\begin{pmatrix}1&0&0,091\\0&1&0\\-0,091&0&1\end{pmatrix}}$ mit $(g(x)+f(x))={\begin{pmatrix}10\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+10\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$ und addiert darauf die Funktion $h(x)+t(x)={\begin{pmatrix}5\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\5\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\0\end{pmatrix}}$

So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der $x_{3}$ -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein.

Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt:

$R_{z}(0.0975)\cdot (g(x)+f(x))$ =${\begin{pmatrix}1&0&0,091\\0&1&0\\-0,091&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}10\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+10\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$ ≈ ${\begin{pmatrix}0,53\cdot sin(2\cdot 13,4\cdot \pi \cdot x)+10\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\cos(2\cdot 13,4\cdot \pi \cdot x)+10\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(2\cdot 13,4\cdot \pi \cdot x)-0,91\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$

Jetzt addiert man $R_{z}(0,0975)\cdot (g(x)+f(x))$ = ${\begin{pmatrix}0,53\cdot sin(2\cdot 13,4\cdot \pi \cdot x)+10\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\cos(2\cdot 13,4\cdot \pi \cdot x)+10\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(2\cdot 13,4\cdot \pi \cdot x)-0,91\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$ zu $h(x)+t(x)={\begin{pmatrix}5\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\5\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\0\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}0,53\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+15\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+15\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)-0,91\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$

um 5° gedrehter Mondorbit in maxima

Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.

Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)

Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen.

Animation, die die Rotation des Mondes um die Erde darstellt

Bewegung der Erde auf Schlangenlinien um die Sonne

Durch den Einfluss der Gravitation des Mondes bewegt sich die Erde nicht in einer perfekten Ellipse: Dies geschieht auf Schlangenlinien, welche in diesem Abschnitt mathematisch beschrieben werden.

Um diese Umlaufbahn mathematisch zu beschreiben, habe ich mir zwei Laufparameter definiert, mit dem ersten Laufparameter a wird die normale Ellipsenbahn dargestellt. Mit dem anderen, b, stellt man die Änderung des Abstandes zum Mittelpunkt dar.

Bewegung der Erde auf Schlangenlinien

$f(x)={\begin{pmatrix}(10+cos(2\cdot \pi \cdot b))\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\(8+cos(2\cdot \pi \cdot b))\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\0\end{pmatrix}}$

Man muss aber beachten, dass die eigentlichen Ausschwenkungen nur minimal sind und diese hier nur zur Anschaulichkeit halber angezeigt deutlicher dargestellt wurden.

Es wird nun noch erklärt, wie es mit den zwei Laufparametern funktioniert:

Nun will man die Rotation der Erde auf Schlangenlinien noch auf das vorher ausgearbeitete Modell mit der Mondbahn ausarbeiten, um das vorherige Modell zu verbessern.

Auf diese Weise hat man die Mondbahn mathematisch beschrieben:

$f(x)={\begin{pmatrix}0,53\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot a)+5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot a)+15\cdot cos(2\cdot \pi \cdot a)\\5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot a)+cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot a)+15\cdot sin(2\cdot \pi \cdot a)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot a)-0,91\cdot cos(2\cdot \pi \cdot a)\end{pmatrix}}$

Um dies nun an die erlangte Erkenntnis anzupassen, muss man noch den zweiten Parameter mit einbringen:

$f(x)_{2}={\begin{pmatrix}0,53\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot a)+5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot a)+(15+cos(2\cdot \pi \cdot b))\cdot cos(2\cdot \pi \cdot a)\\5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot a)+cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot a)+(15+cos(2\cdot \pi \cdot b))\cdot sin(2\cdot \pi \cdot a)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot a)-0,91\cdot cos(2\cdot \pi \cdot a)\end{pmatrix}}$

Dies wird nun erneut geplotet:

Schlangenlinie der Erd- und Mondbahn

Blender

Blender ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.

Geogebra

Bei GeoGebra handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen.

wxMaxima

Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert.

Einschub: Apsidendrehung

Die Achse der Ellipse, die man auch als Apsidenlinie bezeichnet, rotiert rechtläufig langsam in der Bahnebene. Infolge dieser so genannten Periheldrehung wandert das Perihel in etwa 110.000 Jahren einmal bezüglich des Fixsternhintergrunds rund um die Sonne.

Resümee des Modellierten

Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten.

Weitere Optimierungen wären:

• Gravitation der Sonne und anderen Planeten
• Geschwindigkeiten der Planeten
• Apsidendrehung
• Umlaufdauer
• ...

Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet.

Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen

Moritz Berner
https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen

Mathematische Beschreibung von Planetenbahnen

Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen

Mathematische Hintergründe

Zufallsexperiment

Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben.

Absolute Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A).

Relative Häufigkeiten

Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A).

• Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ...

Zyklus 2: Sekundarstufe II

• Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, ....
• Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ...

Zyklus 3: Uni-Niveau

• Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, ....
• Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ...

Quellen/Literatur

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png