Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 22
- Aufgaben
Zeige, dass die Zuordnung aus dem Beweis zu Satz 22.4, die einem Schnitt eine Čech-Kohomologieklasse zu zuordnet, unabhängig von den gewählten lokalen Repräsentanten in und ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es sei ein zusammenhängender topologischer Raum. Zeige, dass , wobei hier die Garbe der lokal konstanten Funktionen in bezeichnet, torsionsfrei ist.
Eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum heißt diskret, wenn für jeden Schnitt die Menge diskret und abgeschlossen in ist.
Es sei ein topologischer Raum und eine kommutative Gruppe. Zeige, dass durch
eine diskrete Garbe auf gegeben ist.
Es sei eine riemannsche Fläche. Zeige, dass die Garbe der Hauptteilverteilungen eine diskrete Garbe ist. Kann man sie im Sinne von Aufgabe 22.3 beschreiben?
Es sei eine riemannsche Fläche. Zeige, dass die Divisorengarbe eine diskrete Garbe ist. Kann man sie im Sinne von Aufgabe 22.3 beschreiben?
Ein topologischer Raum heißt normal, wenn die einzelnen Punkte abgeschlossen sind und es in ihm zu je zwei disjunkten offene Mengen und mit gibt.
Dies ist eine weitverbreitete Eigenschaft, insbesondere sind metrische Räume und kompakte Räume normal.
Es sei eine offene Überdeckung eines normalen topologischen Raumes und sei eine in abgeschlossene Teilmenge. Wir betrachten den Abschluss von in . Zeige die folgenden Aussagen.
- Ein Punkt gehört entweder zu oder zu .
- Die Menge besitzt eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen
mit und .
- Es sei nun zusätzlich
diskret.
Dann besitzt eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen
mit und .
- Im diskreten Fall besitzt eine Zerlegung
mit und .
Zeige anhand des topologischen Raumes mit den offenen Mengen , dass Aufgabe 22.6 ohne die Normalitätsvoraussetzung nicht gilt.
Es sei ein normaler topologischer Raum, sei eine offene Überdeckung und sei eine diskrete Garbe von kommutativen Gruppen auf . Es sei . Zeige, dass es Schnitte und mit gibt.
Es sei ein normaler topologischer Raum und sei eine diskrete Garbe von kommutativen Gruppen auf . Zeige .
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