Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} {-2xy^3-5x^2y^2+4xy^2-7y+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $3$ im Punkt
\mathl{P=(-3,4)}{} algebraisch
\zusatzklammer {d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen
\mathl{u=x+3,v=y-4}{} aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab} {} {}
und über Ableitungen.
}
{} {}
Zur folgenden Aufgabe vergleiche auch
Aufgabe 14.4.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, das die folgenden Charakterisierungen einer Zahl $r$ äquivalent sind.
\aufzaehlungfuenf{$0$ ist eine $r$-fache Nullstelle von $f$.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{x^r h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $h$ nullstellenfrei im Nullpunkt.
}{Das
\definitionsverweis {Jacobiideal}{}{}
zu $f$ in
\mathl{{\mathcal O}_1}{} ist
\mathl{(x^{r-1})}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Milnorzahl}{}{}
zu $f$ im Nullpunkt ist $r-1$.
}{$f$ ist
$r$-\definitionsverweis {bestimmt}{}{,}
aber nicht $(r-1)$-bestimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, das folgende Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$0$ ist ein
\definitionsverweis {regulärer Punkt}{}{}
von $f$.
}{Das
\definitionsverweis {Jacobiideal}{}{}
zu $f$ in
\mathl{{\mathcal O}_n}{} ist das Einheitsideal.
}{$f$ ist
$1$-\definitionsverweis {bestimmt}{}{}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Funktion $XY$ $2$-\definitionsverweis {bestimmt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die minimale
\definitionsverweis {Bestimmtheit}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {X^3-XY^2+Y^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe von
Satz 28.2.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die minimale
\definitionsverweis {Bestimmtheit}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {X^3+X^2Y^2-Y^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe von
Satz 28.2.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die minimale
\definitionsverweis {Bestimmtheit}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {X^2+Y^3+Z^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe von
Satz 28.2.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die minimale
\definitionsverweis {Bestimmtheit}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {X^2+Y^3+Z^5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe von
Satz 28.2.
}
{} {}
Bei der folgenden Aufgabe denke man auch an
Satz 14.8.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {holomorph}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und einer
\definitionsverweis {isolierten Singularität}{}{}
im Nullpunkt. Zeige, dass man
Satz 28.2
in dieser Situation anwenden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es definiere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ K[X,Y,Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine isolierte Singularität im Nullpunkt. Zwischen dem
\definitionsverweis {Jacobiideal}{}{}
$J_f$ zu $f$ und dem maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y,Z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelte die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^s
}
{ \subseteq }{ J_f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die
\definitionsverweis {Milnorzahl}{}{}
von $f$ kleinergleich
\mathl{{ \frac{ s(s+1)(s+2) }{ 6 } }}{} ist.
} {Zeige, dass $f$
$(s+1)$-\definitionsverweis {bestimmt}{}{}
ist.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man für die Funktion \maabbeledisp {} { {\mathbb C}^2 } { {\mathbb C} } {(x,y)} { x^2y } {,} Satz 28.2 nicht anwenden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mathl{X^2+XY^3}{}
\definitionsverweis {rechtsäquivalent}{}{}
zu
\mathl{U^2+V^6}{} ist. Führe explizit eine polynomiale Variablentransformation durch.
}
{} {}