Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 28

Aufgabe

Es sei

${}f(x,y)=-2xy^{3}-5x^{2}y^{2}+4xy^{2}-7y+3\,.$

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ im Punkt ${}P=(-3,4)$ algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen ${}u=x+3,v=y-4$ aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.

Zur folgenden Aufgabe vergleiche auch Aufgabe 14.4.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{1}$ offen, eine holomorphe Funktion mit ${}f(0)=0$. Zeige, das die folgenden Charakterisierungen einer Zahl ${}r$ äquivalent sind.

1. ${}0$ ist eine ${}r$-fache Nullstelle von ${}f$.
2. Es ist ${}f=x^{r}h$ mit ${}h$ nullstellenfrei im Nullpunkt.
3. Das Jacobiideal zu ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{1}$ ist ${}(x^{r-1})$.
4. Die Milnorzahl zu ${}f$ im Nullpunkt ist ${}r-1$.
5. ${}f$ ist ${}r$- bestimmt, aber nicht ${}(r-1)$-bestimmt.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion mit ${}f(0)=0$. Zeige, das folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}0$ ist ein regulärer Punkt von ${}f$.
2. Das Jacobiideal zu ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{n}$ ist das Einheitsideal.
3. ${}f$ ist ${}1$- bestimmt

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion ${}XY$ ${}2$- bestimmt ist.

Aufgabe

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

${}f=X^{3}-XY^{2}+Y^{4}\,$

mit Hilfe von Satz 28.2.

Aufgabe

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

${}f=X^{3}+X^{2}Y^{2}-Y^{3}\,$

mit Hilfe von Satz 28.2.

Aufgabe

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

${}f=X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\,$

mit Hilfe von Satz 28.2.

Aufgabe

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

${}f=X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\,$

mit Hilfe von Satz 28.2.

Bei der folgenden Aufgabe denke man auch an Satz 14.8.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorph mit ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und einer isolierten Singularität im Nullpunkt. Zeige, dass man Satz 28.2 in dieser Situation anwenden kann.

Aufgabe

Es definiere ${}f\in K[X,Y,Z]$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt. Zwischen dem Jacobiideal ${}J_{f}$ zu ${}f$ und dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y,Z)$ gelte die Beziehung ${}{\mathfrak {m}}^{s}\subseteq J_{f}$ mit ${}s\in \mathbb {N} _{+}$.

1. Zeige, dass die Milnorzahl von ${}f$ kleinergleich ${}{\frac {s(s+1)(s+2)}{6}}$ ist.
2. Zeige, dass ${}f$ ${}(s+1)$- bestimmt ist.

Aufgabe

Zeige, dass man für die Funktion

${\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y,$

Satz 28.2 nicht anwenden kann.

Aufgabe

Zeige, dass ${}X^{2}+XY^{3}$ rechtsäquivalent zu ${}U^{2}+V^{6}$ ist. Führe explizit eine polynomiale Variablentransformation durch.