Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Reguläre Ringe}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
\mathl{(R, {\mathfrak m} )}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ heißt
\definitionswort {regulär}{,}
wenn es $n$ Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in {\mathfrak m}}{} gibt, die das
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$
\definitionsverweis {erzeugen}{}{.}
}
Ein regulärer nulldimensionaler lokaler Ring ist einfach ein Körper. Eindimensionale reguläre lokale Ringe nennt man auch diskrete Bewertungsringe. In ihnen wird das maximale Ideal durch ein Element $\neq 0$ erzeugt.
\inputbeispiel{}
{
Zu einem Körper $K$ und Variablen
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} ist die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathdisp {K[X_1 , \ldots , X_n ]_{ (X_1 , \ldots , X_n ) }} { }
ein
\definitionsverweis {lokaler regulärer Ring}{}{.}
Er besitzt die Dimension $n$ und das maximale Ideal wird eben durch
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} erzeugt.
}
Wenn
\mathl{(a_1 , \ldots , a_n) \in K^n}{} ist, so ist auch die Lokalisierung des Polynomrings am maximalen Ideal
\mathl{(X-a_1 , \ldots , X-a_n)}{} regulär, und zwar isomorph zur Lokalisierung im Nullpunkt
\mathl{(0 , \ldots , 0)}{.} Es ist schwieriger zu zeigen, dass überhaupt die Lokalisierung an jedem maximalen Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \subseteq} { K[ X_1 , \ldots , X_n]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein lokaler regulärer Ring der Dimension $n$ ist, siehe
Aufgabe 21.12.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{V { \left( X^2-Y^3 \right) }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{}
des
\definitionsverweis {lokalen Ringes}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_P
}
{ =} { K[X,Y]_{ {\mathfrak n}_P}/ { \left( X^2-Y^3 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
höchstens $2$, da dies für
\mathl{K[X,Y]_{ {\mathfrak m}_P}}{} gilt. Dabei ist ${\mathfrak n}_P$ das zugehörige maximale Ideal im Polynomring und ${\mathfrak m}_P$ sei das maximale Ideal im lokalen Ring ${\mathcal O}_P$. Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}_P / {\mathfrak m}^2_P
}
{ =} { {\mathfrak n}_P / { \left( {\mathfrak n}^2_P + { \left( X^2-Y^3 \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak n}_P
}
{ = }{ (X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^2-Y^3
}
{ \in }{ {\mathfrak n}^2_P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}_P / {\mathfrak m}^2_P
}
{ =} { {\mathfrak n}_P / { \left( {\mathfrak n}^2_P + { \left( X^2-Y^3 \right) } \right) }
}
{ =} { {\mathfrak n}_P / {\mathfrak n}^2_P
}
{ =} { K^2
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Einbettungsdimension ist $2$. Der lokale Ring im Nullpunkt ist also nicht
\definitionsverweis {regulär}{}{.}
Im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{(1,1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak n}_Q
}
{ = }{ (X-1,Y-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^2-Y^3
}
{ = }{ (X-1)(X+1) - (Y-1) { \left( Y^2+Y+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In ${\mathcal O}_Q$ gilt daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X-1
}
{ =} { { \frac{ Y^2+Y+1 }{ X+1 } } (Y-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei eben die rationale Funktion zu ${\mathcal O}_Q$ gehört. Daher ist dort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}_Q
}
{ =} { { \left( Y-1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Einbettungsdimension ist $1$. Der lokale Ring in $(1,1)$ ist also regulär.
}
\inputfaktbeweis
{Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $(R, {\mathfrak m})$ ein
\definitionsverweis {lokaler regulärer Ring}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$d$ und seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in {\mathfrak m}}{} Elemente.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es gibt Elemente
\mathl{f_{n+1} , \ldots , f_{d}}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (f_{1} , \ldots , f_{d})
}
{ = }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Restklassen von
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} in
\mathl{{\mathfrak m} /{\mathfrak m}^2}{} sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{R/ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{R/(f_1 , \ldots , f_n)}{} ist regulär der Dimension
\mathl{d-n}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen zuerst die Äquivalenz zwischen (1) und (2). Der Restklassenmodul
\mathl{{\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2}{} ist ein $R /{\mathfrak m}$-Vektorraum, der
nach dem Lemma von Nakayama
die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$d$ besitzt. Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(f_1 , \ldots , f_n,f_{n+1} , \ldots , f_d)
}
{ =} { {\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, so bilden die Restklassen eine Basis von
\mathl{{\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2}{} und jedes Teilsystem davon ist linear unabhängig. Wenn umgekehrt die Restklasen von
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} in
\mathl{{\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2}{} linear unabhängig sind, so lassen diese sich
nach dem Basisergänzungssatz
durch
\mathl{g_{n+1} , \ldots , g_d \in {\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2}{} zu einer Basis von
\mathl{{\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2}{} ergänzen. Diese Elemente werden wiederum durch Elemente
\mathl{f_{n+1} , \ldots , f_d \in {\mathfrak m}}{} repräsentiert, und nach dem Lemma von Nakayama gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f_1 , \ldots , f_n, f_{n+1} , \ldots , f_d )
}
{ =} { {\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir beweisen nun die Äquivalenz zwischen (1) und (3). Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \defeq} { (f_1 , \ldots , f_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei zunächst wieder durch
\mathl{f_{n+1} , \ldots , f_d}{} eine Ergänzung zu einem vollen Erzeugendensystem von ${\mathfrak m}$ gegeben. Dann sind die Restklassen von
\mathl{f_{n+1} , \ldots , f_d}{} in
\mathl{R/{\mathfrak a}}{} ein Erzeugendensystem des maximalen Ideals
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak n}
}
{ =} { {\mathfrak m} / {\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{.} Damit ist die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{}
von
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} gleich
\mathl{d-n}{} und somit ist
nach Satz 20.12
die Dimension von
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} höchstens
\mathl{d-n}{.} Andererseits ist die Dimension aber auch zumindest $d-n$ nach
Korollar 18.9.
Wäre nämlich die Dimension von
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ <} {d-n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so würde es Parameter
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g_1 , \ldots , g_m
}
{ \in} { R/ {\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
geben, und diese würden zusammen mit den
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} in $R$ das maximale Ideal als Radikal beschreiben, was nach
Satz 18.7
nicht sein kann.
Wenn umgekehrt
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} regulär der Dimension
\mathl{d-n}{} ist, so sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak n}
}
{ =} { (g_{n+1} , \ldots , g_d)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese $g_i$ werden durch
\mathl{f_{n+1} , \ldots , f_d \in {\mathfrak m}}{} repräsentiert und die
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} erzeugen ${\mathfrak m}$.
\inputfaktbeweis
{Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Ein
\definitionsverweis {regulärer lokaler Ring}{}{}}
\faktfolgerung {ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir führen Induktion über die Dimension $d$ von $R$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es liegt ein Körper vor. Es sei die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Es seien
\mathl{{\mathfrak p}_1 , \ldots , {\mathfrak p}_n}{} die
\definitionsverweis {minimalen Primideale}{}{}
von $R$. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Wir wenden
Lemma Anhang 15.2
auf diese Primideale und auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ = }{ {\mathfrak m}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \not \subseteq }{ {\mathfrak p}_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da die Dimension zumindest $1$ ist, und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \not \subseteq }{ {\mathfrak m}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
denn sonst wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} /{\mathfrak m}^2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \not \subseteq }{ {\mathfrak m}^2 \cup \bigcup_{i = 1}^n {\mathfrak p}_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. es gibt ein
\mathl{h \in {\mathfrak m}}{,} das in keinem minimalen Primideal und nicht in ${\mathfrak m}^2$ enthalten ist. Nach
Lemma 21.4
ist
\mathl{R/(h)}{} ein regulärer Ring der Dimension
\mathl{d-1}{,} es ist also ein Integritätsbereich nach Induktionsvoraussetzung. Somit ist das Hauptideal
\mathl{(h)}{} ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $R$. Da jedes Primideal ein minimales Primideal umfasst, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_i
}
{ \subseteq} { (h)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein $i$, und die Inklusion muss nach der Wahl von $h$ echt sein. Somit muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_i
}
{ =} { {\mathfrak a} \cdot (h)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Ideal ${\mathfrak a}$ sein. Aus der Primeigenschaft in Verbindung mit
\mathl{h \notin {\mathfrak p}_i}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak p}_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { {\mathfrak p}_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_i
}
{ =} { {\mathfrak p}_i \cdot (h)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erzwingt aber
nach dem Lemma von Nakayama
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Reguläre Ringe und glatte Punkte}
\inputfaktbeweis
{Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in} {V ( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Punkt der
\definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
zum Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem lokalen Ring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { (K[X_1 , \ldots , X_n]/{\mathfrak a})_{ {\mathfrak m}_P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der Punkt genau dann
\definitionsverweis {glatt}{}{,}
wenn $R$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ohne Einschränkung sei $P$ der Nullpunkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak n}
}
{ = }{ (X_1 , \ldots , X_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Polynomring, dem zugehörigen maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak r}
}
{ = }{ {\mathfrak n}/{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{K[ X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}}{} und dem zugehörigen maximalen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ {\mathfrak m}_P
}
{ = }{ {\mathfrak r} ( K[ X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a} )_{\mathfrak r}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $R$. Wir betrachten die
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { K[X_1 , \ldots , X_n ] } { K^n
} {g} { ((\partial_1 g) (P) , \ldots , (\partial_n g) (P))
} {.}
Dabei werden die Variablen $X_i$ auf die Standardvektoren $e_i$ abgebildet und die Abbildung ist surjektiv. Ein Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} {c_0 +c_1X_1 + \cdots + c_nX_n + \text{ höhere Terme}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird auf
\mathl{\left( c_1 , \, \ldots , \, c_n \right)}{} abgebildet. Ein homogenes Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ \in} {{\mathfrak n}^2
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_n ]_{\geq 2}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt zumindest den Grad $2$ und wird daher auf $0$ abgebildet, da die partiellen Ableitungen den Grad um $1$ reduzieren und somit ergibt sich jeweils ein Element von positivem Grad. Durch Einsetzen des Nullpunktes ergibt sich dann $0$. Insgesamt induziert dies eine $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {} { {\mathfrak n} / {\mathfrak n}^2 } {K^n
} {,}
die bijektiv ist, da die Räume die gleiche Vektorraumdimension besitzen.
Nach
Lemma 18.9
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak r} / {\mathfrak r}^2
}
{ \cong }{ {\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Unter der surjektiven Abbildung
\mathdisp {{\mathfrak n} \longrightarrow {\mathfrak r} \longrightarrow {\mathfrak r}/{\mathfrak r}^2} { }
wird ${\mathfrak n}^2$ und ${\mathfrak a}$ auf $0$ abgebildet, und zwar ist der Kern genau
\mathl{{\mathfrak n}^2 + {\mathfrak a}}{.} Somit gibt es eine $K$-lineare Bijektion
\maabbdisp {} { {\mathfrak n}/ ( {\mathfrak n}^2 + {\mathfrak a} ) } {{\mathfrak r}/{\mathfrak r}^2
} {.}
Wir betrachten die Abbildungen
\mathdisp {K^m \stackrel{\operatorname{Jak} }{\longrightarrow} K^n \cong {\mathfrak n}/{\mathfrak n}^2 \longrightarrow {\mathfrak n}/ { \left( {\mathfrak n}^2+ {\mathfrak a} \right) }} { . }
Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [g]
}
{ \in }{ {\mathfrak n}/{\mathfrak n}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird rechts genau dann auf $0$ geschickt, wenn der lineare Anteil von $g$ zu ${\mathfrak n}^2+ {\mathfrak a}$ gehört. Dies bedeutet, dass eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g
}
{ =} { \sum_{i= 1}^m h_i f_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
modulo ${\mathfrak n}^2$ besteht und dies bedeutet
\zusatzklammer {für die $h_i$ ist nur der konstante Term relevant} {} {,}
dass eine lineare Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} ( \partial_1 g) (P) \\ \vdots \\ (\partial_n g) (P) \end{pmatrix}
}
{ =} { \sum_{i= 1}^m h_i \begin{pmatrix} ( \partial_1 f_i) (P) \\ \vdots \\ (\partial_n f_i) (P) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Dies ist genau dann der Fall, wenn
\mathl{\begin{pmatrix} ( \partial_1 g) (P) \\ \vdots \\ (\partial_n g) (P) \end{pmatrix}}{} im Bild der Jacobimatrix liegt. Daher ist das Bild der Jacobimatrix gleich dem Kern der surjektiven Abbildung rechts. Somit ist
nach der Dimensionsformel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { \operatorname{rang} \, (\operatorname{Jak}) + \dim_{ K } { \left( {\mathfrak n}/ { \left( {\mathfrak n}^2 + {\mathfrak a} \right) } \right) }
}
{ =} { \operatorname{rang} \, (\operatorname{Jak}) + \dim_{ K } { \left( {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei nun $d$ die Dimension von $V( {\mathfrak a} )$ im Punkt $P$, die mit der Dimension des lokalen Ringes $R$ übereinstimmt. Nach Definition ist $P$ genau dann nichtsingulär, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \operatorname{rang} \, (\operatorname{Jak}) + d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dies ist daher genau dann der Fall, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 \right) }
}
{ =} { d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, und dies ist die Definition eines regulären Ringes.
\inputfaktbeweis
{Lokaler Ring/Restkörperbedingung/Regulär und Freier Kählermodul/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {vollkommener Körper}{}{}
und $R$ die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
einer
\definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak m}}{} sei
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ genau dann
\definitionsverweis {regulär}{}{,}
wenn der
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\definitionsverweis {frei}{}{}
ist und sein
\definitionsverweis {Rang}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des Ringes übereinstimmt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir verwenden
Lemma 13.5,
also den natürlichen
$R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 } { \Omega_{ R {{|}} K } \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m}
} {[f]} { df \otimes 1
} {.}
Wenn $\Omega_{R {{|}} K}$ ein freier $R$-Modul und sein Rang gleich der Dimension $d$ ist, so gilt dies auch für den $R/ {\mathfrak m}$-Modul
\mathl{\Omega_{ R {{|}} K } \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m}}{} und dann ist insbesondere
\mathl{{\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^2}{} ein $d$-dimensionaler
$R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Dies bedeutet nach Definition, dass $R$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist. Umgekehrt folgt aus der Regularität, dass
\mathl{{\mathfrak m}/ {\mathfrak m}^2}{} und entsprechend
\mathl{\Omega_{ R {{|}} K } \otimes_{ R } R/ {\mathfrak m}}{} ein $d$-dimensionaler Vektorraum ist, und
nach dem Lemma von Nakayama,
dass $\Omega_{ R {{|}} K }$ als $R$-Modul von $d$ Elementen erzeugt wird. Nach
Satz 21.5
ist $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
sei
\mathl{Q(R)}{} sein
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{.}
Nach
Satz 19.7
ist der
\definitionsverweis {Transzendenzgrad}{}{}
von $Q(R)$ über $K$ gleich der Dimension von $R$. Da der Modul der Kähler-Differentiale mit
\definitionsverweis {Nenneraufnahmen}{}{}
verträglich ist, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Omega_{ R {{|}} K } \otimes_{ R } Q(R)
}
{ =} { \Omega_{ Q(R) {{|}} K }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $K$ vollkommen ist, ist die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Satz Anhang 15.4
\zusatzklammer {nicht endlich, aber} {} {}
\definitionsverweis {separabel}{}{.}
Damit ist
\mathl{\Omega_{ Q(R) {{|}} K }}{} ein freier $Q(R)$-Modul, dessen Rang gleich dem Transzendenzgrad ist. Zusammenfassend besitzt also der $R$-Modul
\mathl{\Omega_{ Q(R) {{|}} K }}{} die Eigenschaft, dass er von $d$ Elementen
\mathl{\omega_1 , \ldots , \omega_d}{} erzeugt wird und dass die Tensorierung mit $Q(R)$ ein
$Q(R)$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der Dimension $d$ ist. Somit müssen die
\mathl{\omega_1 , \ldots , \omega_d}{}
$R$-\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sein, da sie dies über $Q(R)$ sind, und daher handelt es sich um eine
\definitionsverweis {Basis}{}{.}
Also ist $\Omega_{ R {{|}} K }$ frei vom Rang $d$.
\zwischenueberschrift{Reguläre Ringe und Multiplizität}
\inputfaktbeweis
{Lokaler Ring/Assoziierter graduierter Ring/Regularität/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {lokaler}{}{}
\definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ genau dann
\definitionsverweis {regulär}{}{,}
wenn der
\definitionsverweis {assoziierte graduierte Ring}{}{}
\mathl{\operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } R}{} ein
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über
\mathl{R/ {\mathfrak m}}{} in
\mathl{\operatorname{dim} { \left( R \right) }}{} Variablen ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das maximale Ideal ${\mathfrak m}$ sei durch die Erzeuger
\mathl{f_1 , \ldots , f_e}{} gegeben, wobei $e$ die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{}
von $R$ bezeichnet. Dazu gehört ein surjektiver graduierter
$R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { R/ {\mathfrak m} [X_1 , \ldots , X_e ]} { \operatorname{Gr}_{ {\mathfrak m} } R = R/ {\mathfrak m} \oplus {\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2 \oplus {\mathfrak m}^2 / {\mathfrak m}^3 \ldots
} {X_i} { [f_i]
} {,}
\zusatzklammer {$[f_i]$ bezeichnet die Klasse von $f_i$ in \mathlk{{\mathfrak m} / {\mathfrak m}^2}{}} {} {.}
Es steht links ein Ring der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$e$ und rechts nach
Satz 19.10
bzw. der graduierten Version davon ein Ring der Dimension
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ \operatorname{dim} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn $R$ regulär ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Kern muss trivial sein, da echte Restklassenringe eines Integritätsbereiches eine kleinere Dimension besitzen. Wenn umgekehrt ein Isomorphismus vorliegt, so muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein.
\inputfaktbeweis
{Lokaler Ring/Regulär/Multiplizität/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die
\definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Multiplizität}{}{}
eines
\definitionsverweis {lokalen}{}{}
\definitionsverweis {regulären Ringes}{}{}
ist $1$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 21.8 in Verbindung mit Satz 16.13.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {lokalen Ring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)} /(XY,XZ)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der geometrisch aus einer Ebene und einer Geraden besteht. Für die
\definitionsverweis {Potenzen}{}{}
des
\definitionsverweis {maximalen Ideals}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y,Z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ =} { (X^n) + (Y,Z)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja sämtliche Monome, in denen neben $X$ noch eine weitere Variable vorkommt, gleich $0$ sind. Somit gilt für die Restklassenräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n/ {\mathfrak m}^{n+1}
}
{ =} { K \langle X^n,Y^n,Y^{n-1}Z , \ldots , Z^n \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dessen
$K$-\definitionsverweis {Dimension}{}{}
ist $n+2$. Somit ist die
\definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Funktion}{}{}
des Ringes gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_R(n)
}
{ = }{ n+2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die
\definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Multiplizität}{}{}
des Ringes ist $1$. Der Ring ist aber nicht
\definitionsverweis {regulär}{}{.}
}