Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Endliche Bestimmtheit}
Eine holomorphe Funktion
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen, besitzt im Nullpunkt eine
\definitionsverweis {Taylorentwicklung}{}{,}
die auf einer offenen Umgebung des Nullpunktes konvergiert und dort die Funktion darstellt. Durch Verkleinern können wir direkt annehmen, dass auf $U$ Konvergenz vorliegt. Insbesondere beschreibt die Taylorreihe die Funktion lokal vollständig und daher müssen auch Singularitätskonzepte wie Rechtsäquivalenz daraus ablesbar sein. Die Taylorreihe hat in Monomschreibweise die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_\nu a_\nu X^\nu
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty { \left( \sum_{ \betrag { \, \nu \, } = k} a_\nu X^\nu \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die abgebrochene Taylorentwicklung
\mathdisp {\sum_{k = 0}^d { \left( \sum_{ \betrag { \, \nu \, } = k} a_\nu X^\nu \right) }} { }
heißt das Taylorpolynom von $f$ der Ordnung $d$. Wir bezeichnen es mit
\mathl{T_d(f)}{.} Wenn wir, wie häufig,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
voraussetzen, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_0(f)
}
{ =} { a_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wenn zusätzlich der Nullpunkt ein kritischer sein soll, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_1(f)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn für zwei holomorphe Funktionen
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
die Taylorpolynome der Ordnung $r$ übereinstimmen
\zusatzklammer {was eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Potenreihen ist} {} {,}
so erwartet man, dass auch sonst gewisse Eigenschaften der Funktionen bzw. der durch sie gegebenen singulären Hyperflächen übereinstimmen.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
heißt
\definitionswortpraemath {r}{ bestimmt }{,}
wenn jede holomorphe Funktion $g$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_r(f)
}
{ =} {T_r(g)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bereits zu $f$
\definitionsverweis {rechtsäquivalent}{}{}
ist.
}
Der folgende Satz heißt Satz von Mather.
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{,}}
\faktvoraussetzung {wobei im lokalen Ring ${\mathcal O}_n$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^{r+1}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak m}^{2} \cdot J_f + {\mathfrak m}^{r+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelte, wobei $J_f$ das
\definitionsverweis {Jacobiideal}{}{}
bezeichne und $r$ eine natürliche Zahl ist.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
$r$-\definitionsverweis {bestimmt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir müssen zeigen, dass eine holomorphe Funktion $g$, deren Taylorentwicklung der Ordnung $r$ mit der Taylorentwicklung der Ordnung $r$ von $f$ übereinstimmt, unter der gegebenen Voraussetzung bereits rechtsäquivalent zu $f$ ist. Wir können $g$ als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{ f+h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ \in} { {\mathfrak m}^{r+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ansetzen. Wir wollen
Lemma 27.8
verwenden. Wir betrachten also die holomorphe Hilfsfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H(t,z)
}
{ =} {f(z) + th(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und müssen in den lokalen Ringen zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (s,0)
}
{ \in }{ [0,1] \times {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die wir unabhängig von $s$ mit $R$ bezeichnen} {} {}
die Zugehörigkeit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ \in} { { \left( z_1 , \ldots , z_n \right) } { \left( \partial_{z_1} H , \ldots , \partial_{z_n} H \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nachweisen. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { { \left( \partial_{z_1} H , \ldots , \partial_{z_n} H \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ =} { (z_1 , \ldots , z_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und betrachten diese Ideale in $R$, das maximale Ideal von $R$ sei mit ${\mathfrak n}$ bezeichnet. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \partial_{z_j} f
}
{ =} { \partial_{z_j} H - t \partial_{z_j} h
}
{ \in} { {\mathfrak a} + {\mathfrak m}^r
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Voraussetzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^{r+1}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak m}^{2} \cdot J_f + {\mathfrak m}^{r+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt entsprechend auch in $R$, also ergibt sich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ {\mathfrak m}^{r+1}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak m}^2 { \left( \partial_{z_1} f , \ldots , \partial_{z_n} f \right) } + {\mathfrak m}^{r+2} R
}
{ \subseteq} {{\mathfrak m}^2 {\mathfrak a} + {\mathfrak m}^{r+2}
}
{ \subseteq} {{\mathfrak m}^2 {\mathfrak a} + {\mathfrak n} {\mathfrak m}^{r+1}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { {\mathfrak m}^2 {\mathfrak a} + {\mathfrak m}^{r+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { {\mathfrak m}^2 {\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M
}
{ =} { {\mathfrak m}^2 {\mathfrak a} + {\mathfrak m}^{r+1}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak m}^2 {\mathfrak a} + {\mathfrak m}^2 {\mathfrak a} + {\mathfrak n} {\mathfrak m}^{r+1}
}
{ =} { {\mathfrak m}^2 {\mathfrak a} + {\mathfrak n} {\mathfrak m}^{r+1}
}
{ \subseteq} { N + {\mathfrak n} M
}
}
{}
{}{.}
Mit
dem Lemma von Nakayama
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^{r +1}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak m}^{2} {\mathfrak a}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak m} {\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{ {\mathfrak m} {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daraus erhalten wir die folgenden Spezialfälle.
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Spezialfall 0/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{,}}
\faktvoraussetzung {wobei im lokalen Ring ${\mathcal O}_n$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^{r-1}
}
{ \subseteq} { J_f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelte, wobei $J_f$ das
\definitionsverweis {Jacobiideal}{}{}
bezeichne und $r$ eine positive natürliche Zahl ist.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
$r$-\definitionsverweis {bestimmt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus
Satz 28.2
durch beidseitige Multiplikation mit
\mathl{{\mathfrak m}^2}{.}
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Spezialfall m/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{,}}
\faktvoraussetzung {wobei im lokalen Ring ${\mathcal O}_n$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^{r}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak m} J_f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelte, wobei $J_f$ das
\definitionsverweis {Jacobiideal}{}{}
bezeichne und $r$ eine natürliche Zahl ist.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
$r$-\definitionsverweis {bestimmt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus
Satz 28.2
durch beidseitige Multiplikation mit
\mathl{{\mathfrak m}}{.}
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktion/Nichtausgeartet/Morse-Lemma/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {nichtausgearteten}{}{}
isolierten Singularität im Nullpunkt.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {rechtsäquivalent}{}{}
zur Quadrik
\mathl{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen nichtausgeartet ist nach Lemma 14.14 das \definitionsverweis {Jacobiideal}{}{} zu $f$ gleich dem maximalen Ideal ${\mathfrak m}$. Nach Korollar 28.3 ist $f$ $2$-\definitionsverweis {bestimmt}{}{,} also rechtsäquivalent zu seinem Taylorpolynom der Ordnung $2$. Dieses kann man linear zur Standardquadrik transformieren.
{Holomorphe Funktion/Rangbedingung/Morse-Lemma/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
mit einem kritischen Punkt im Nullpunkt.}
\faktvoraussetzung {Der Rang der
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
zu $f$ sei $k$.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {rechtsäquivalent}{}{}
zu einer Funktion der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} {x_1^2 + \cdots + x_k^2 +h
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{ {\mathfrak m}^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wobei $h$ nur von den Variablen
\mathl{x_{k+1} , \ldots , x_n}{} abhängt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies wird ähnlich wie Satz 28.5 bewiesen, ist aber aufwändiger.
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Funktionen/Quadrik/Summe/Rechtsäquivalenz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\maabb {g_1,g_2} {V} { {\mathbb C}
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_1,g_2
}
{ \in }{ {\mathfrak m}^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in den Variablen
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind
\mathkor {} {g_1} {und} {g_2} {}
genau dann zueinander
\definitionsverweis {rechtsäquivalent}{}{,}
wenn
\mathkor {} {x_1^2 + \cdots + x_k^2 + g_1} {und} {x_1^2 + \cdots + x_k^2 +g_2} {}
zueinander rechtsäquivalent
\zusatzklammer {als Funktionskeime in $n+k$ Variablen} {} {}
sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn
\mathkor {} {g_1} {und} {g_2} {}
zueinander rechtsäquivalent sind, so gibt es eine biholomorphe Abbildung
\maabb {\psi} {V} {W
} {}
auf offenen Umgebungen der $0$ in ${\mathbb C}^n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_1
}
{ = }{ g_2 \circ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und diese kann man durch die Identität zu einer biholomorphen Abbildung zwischen
\mathkor {} {{\mathbb C}^k \times V} {und} {{\mathbb C}^k \times W} {}
fortsetzen, die zeigt, dass auch
\mathkor {} {f_1} {und} {f_2} {}
rechtsäquivalent sind.
Es seien nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1
}
{ = }{ x_1^2 + \cdots + x_k^2 + g_1 (y_1 , \ldots , y_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_2
}
{ = }{ z_1^2 + \cdots + z_k^2 + g_2 (w_1 , \ldots , w_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zueinander rechtsäquivalent. Dann gibt es offene Umgebungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der $0$ und eine biholomorphe Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {U \times V} { W \subseteq {\mathbb C}^{k+n}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1
}
{ = }{ f_2 \circ \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wir können nicht davon ausgehen, dass auf den ersten $k$ Variablen die Identität vorliegt, deshalb müssen wir die Variablen unabhängig voneinander ansetzen} {} {.}
Es liegt also das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}U \times V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & W & \\ & \!\!\! \!\! f_1 \searrow & \downarrow f_2 \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb C} & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor. Unter $\varphi$ entspricht der Unterraum
\mathl{0 \times V}{} einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ \subseteq }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(0,y)
}
{ \in }{0 \times V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt wegen der speziellen Gestalt von $f_1$ bzw. $f_2$ und der Kettenregel für jedes $i$
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{0
}
{ =} { { \left( \partial_{x_i} f_1 \right) } (0,y)
}
{ =} { { \left( \partial_{x_i} { \left( f_2 \circ \varphi \right) } \right) } (0,y)
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k { \left( \partial_{z_j} f_2 \right) } { \left( \varphi(0,y) \right) } \cdot { \left( \partial_{x_i} ( z_j \circ \varphi ) \right) } (0,y)+ \sum_{j = 1}^n { \left( \partial_{w_j} f_2 \right) } { \left( \varphi(0,y) \right) } \cdot { \left( \partial_{x_i} (w_j \circ \varphi ) \right) } (0,y)
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k 2 z_j { \left( \varphi(0,y) \right) } \cdot { \left( \partial_{x_i} (z_j \circ \varphi ) \right) } (0,y)+ \sum_{j = 1}^n { \left( \partial_{w_j} g_2 \right) } { \left( \varphi(0,y) \right) } \cdot { \left( \partial_{x_i} (w_j \circ \varphi ) \right) } (0,y)
}
}
{}
{}{.}
Mit Hilfe der $k \times k$-Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(0,y)
}
{ =} { { \left( { \left( \partial_{x_i} (z_j \circ \varphi ) \right) } (0,y) \right) }_{1 \leq i,j \leq k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
können wir diese Gleichungen als
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ -2 M(0,y) \begin{pmatrix} \varphi_1 (0,y) \\ \vdots\\ \varphi_k (0,y) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \sum_{j = 1}^n { \left( \partial_{w_j} g_2 \right) } { \left( \varphi(0,y) \right) } \cdot { \left( \partial_{x_1} (w_j \circ \varphi ) \right) } (0,y) \\\vdots \\ \sum_{j = 1}^n { \left( \partial_{w_j} g_2 \right) } { \left( \varphi(0,y) \right) } \cdot { \left( \partial_{x_k} (w_j \circ \varphi ) \right) } (0,y) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Die Matrix
\mathl{M(0,y)}{} ist nach
Aufgabe 26.25
im Nullpunkt
\definitionsverweis {invertierbar}{}{.}
Damit ist sie auch in einer offenen Umgebung für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{ V'
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
invertierbar. Es gilt also
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \begin{pmatrix} z_1(y) \\ \vdots\\ z_k(y) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \varphi_1 (0,y) \\ \vdots\\ \varphi_k (0,y) \end{pmatrix}
}
{ =} { N (y) \begin{pmatrix} \sum_{j = 1}^n { \left( \partial_{w_j} g_2 \right) } { \left( \varphi(0,y) \right) } \cdot { \left( \partial_{x_1} (w_j \circ \varphi ) \right) } (0,y) \\\vdots \\ \sum_{j = 1}^n { \left( \partial_{w_j} g_2 \right) } { \left( \varphi(0,y) \right) } \cdot { \left( \partial_{x_k} (w_j \circ \varphi ) \right) } (0,y) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
mit der von $y$ abhängigen inversen Matrix
\mathl{N(y)}{.} Somit sind die
\mathl{\varphi_{i}(0,y)}{} als Linearkombinationen der
\mathl{{ \left( \partial_{w_j} g_2 \right) } { \left( \varphi(0,y) \right) }}{} darstellbar und gehören insbesondere zum Jacobiideals zu den $y_i$.
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{g_1 (y)
}
{ =} { f_1(0,y)
}
{ =} { ( f_2 \circ \varphi )(0,y)
}
{ =} { f_2(\varphi_{1}(0,y) , \ldots , \varphi_{k}(0,y), \varphi_{k+1}(0,y) , \ldots , \varphi_{k+n}(0,y) )
}
{ =} { (\varphi_{1}(0,y) )^2 + \cdots + ( \varphi_{k}(0,y) )^2 + g_2(\varphi_{k+1}(0,y) , \ldots , \varphi_{k+n}(0,y) )
}
}
{}
{}{.}
Dabei gehört die linke Summe zum Quadrat des Jacobiideals zu den $y_i$ und der rechte Summand gehört zur dritten Potenz des maximalen Ideals in den $y_i$. Daher können wir
Lemma 27.9
anwenden und erhalten, dass $g_1(y)$ und
\mathl{g_2 ( w_1 , \ldots , w_n )}{} rechtsäquivlent ist.